MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicatăGeometrie Analitică
Se consideră punctul A(0,1)A(0,1) și curba dată de funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=exf(x)=e^x. Determinați punctul MM de pe graficul lui ff astfel încât distanța AMAM să fie minimă, unde MM are coordonatele (x,ex)(x, e^x).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Distanța AMAM este dată de d(x)=(x−0)2+(ex−1)2=x2+(ex−1)2d(x)=\sqrt{(x-0)^2+(e^x-1)^2}=\sqrt{x^2+(e^x-1)^2}, cu x∈Rx\in\mathbb{R}. Pentru a minimiza d(x)d(x), se poate minimiza pătratul distanței, g(x)=x2+(ex−1)2g(x)=x^2+(e^x-1)^2.
23 puncte
Derivata lui gg: g′(x)=2x+2(ex−1)ex=2x+2e2x−2exg'(x)=2x+2(e^x-1)e^x=2x+2e^{2x}-2e^x. Ecuația g′(x)=0g'(x)=0 devine x+e2x−ex=0x+e^{2x}-e^x=0, adică x+ex(ex−1)=0x+e^x(e^x-1)=0.
33 puncte
Se consideră funcția h(x)=x+ex(ex−1)h(x)=x+e^x(e^x-1). Derivata h′(x)=1+2e2x−exh'(x)=1+2e^{2x}-e^x. Observăm că h′(x)>0h'(x)>0 pentru toate x∈Rx\in\mathbb{R} deoarece 2e2x−ex2e^{2x}-e^x are minim pozitiv (se verifică prin derivare). Prin urmare, hh este strict crescătoare și are o singură rădăcină. Prin încercări sau metode numerice, se găsește că x=0x=0 este soluție: h(0)=0+e0(e0−1)=0+1⋅0=0h(0)=0+e^0(e^0-1)=0+1\cdot0=0.
42 puncte
Deoarece hh este crescătoare, x=0x=0 este singurul punct critic. g′′(x)=2+4e2x−2exg''(x)=2+4e^{2x}-2e^x, și g′′(0)=2+4−2=4>0g''(0)=2+4-2=4>0, deci x=0x=0 este punct de minim. Atunci M(0,e0)M(0, e^0), adică M(0,1)M(0,1), și distanța minimă este d(0)=02+(1−1)2=0d(0)=\sqrt{0^2+(1-1)^2}=0. (Notă: punctul AA este deja pe grafic, dar exercițiul testează aplicarea derivatelor pentru optimizare.)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.