MediuLogică matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣(x2−4)(x−1)>0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid (x^2 - 4)(x-1) > 0 \} și B={x∈R∣log⁡2(x+1)≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x+1) \leq 1 \}. Determinați mulțimea C=(A∩B)∪(A∖B)C = (A \cap B) \cup (A \setminus B) și exprimați-o folosind operații logice asupra condițiilor care definesc A și B. Demonstrați că C=A∪BC = A \cup B.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Rezolvarea inecuațiilor pentru a determina mulțimile A și B. Pentru A: (x2−4)(x−1)>0(x^2-4)(x-1) > 0 implică x∈(−∞,−2)∪(1,2)∪(2,∞)x \in (-\infty, -2) \cup (1, 2) \cup (2, \infty) după analiza semnelor. Pentru B: log⁡2(x+1)≤1\log_2(x+1) \leq 1 cu condiția x+1>0x+1 > 0, deci x∈(−1,1]x \in (-1, 1].
23 puncte
Calculul lui A∩B={x∈R∣x∈A și x∈B}=(−1,1]∩[(−∞,−2)∪(1,2)∪(2,∞)]=(1,2)A \cap B = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \in A \text{ și } x \in B \} = (-1,1] \cap [(-\infty,-2) \cup (1,2) \cup (2,\infty)] = (1,2) și A∖B={x∈A∣x∉B}=(−∞,−2)∪(2,∞)A \setminus B = \{ x \in A \mid x \notin B \} = (-\infty,-2) \cup (2,\infty).
33 puncte
Obținerea lui C=(A∩B)∪(A∖B)=(1,2)∪[(−∞,−2)∪(2,∞)]=(−∞,−2)∪(1,∞)∖{2}C = (A \cap B) \cup (A \setminus B) = (1,2) \cup [(-\infty,-2) \cup (2,\infty)] = (-\infty,-2) \cup (1,\infty) \setminus \{2\}. Demonstrația că C=A∪BC = A \cup B folosind legile lui De Morgan și proprietăți logice: A∪B={x∣x∈A sau x∈B}A \cup B = \{ x \mid x \in A \text{ sau } x \in B \}, iar din calcule, A∪B=(−∞,−2)∪(1,∞)∖{2}A \cup B = (-\infty,-2) \cup (1,\infty) \setminus \{2\}, egal cu C.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.