MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateLogaritmiStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2+1)−xf(x) = \ln(x^2 + 1) - x. a) Studiați monotonia funcției ff. b) Studiați convexitatea funcției ff și determinați punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=2xx2+1−1=−(x−1)2x2+1≤0f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} - 1 = \frac{-(x-1)^2}{x^2+1} \leq 0, cu egalitate doar la x=1x=1, deci ff este strict descrescătoare pe R\mathbb{R}.
24 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=2(1−x2)(x2+1)2f''(x) = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}. Semnul derivatei a doua: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x∈(−1,1)x \in (-1,1), deci ff este convexă pe (−1,1)(-1,1); f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty), deci ff este concavă pe aceste intervale.
32 puncte
Punctele de inflexiune sunt unde f′′(x)=0f''(x) = 0, adică x=−1x=-1 și x=1x=1. Coordonatele: (−1,f(−1))=(−1,ln⁡(2)+1)(-1, f(-1)) = (-1, \ln(2) + 1) și (1,f(1))=(1,ln⁡(2)−1)(1, f(1)) = (1, \ln(2) - 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.