MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În triunghiul ABC, raportul sinusurilor unghiurilor este sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C=3:5:7\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7. Știind că aria triunghiului este 15315\sqrt{3}, determinați lungimile laturilor triunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Aplicăm teorema sinusurilor: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, deci a:b:c=3:5:7a : b : c = 3 : 5 : 7. Notăm a=3ka=3k, b=5kb=5k, c=7kc=7k cu k>0k>0.
22 puncte
Folosim teorema cosinusurilor pentru a găsi un unghi. Calculăm cos⁡C=a2+b2−c22ab=(3k)2+(5k)2−(7k)22⋅3k⋅5k=9k2+25k2−49k230k2=−15k230k2=−12\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{(3k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{2 \cdot 3k \cdot 5k} = \frac{9k^2 + 25k^2 - 49k^2}{30k^2} = \frac{-15k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2}, deci C=120∘C = 120^\circ și sin⁡C=32\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}.
33 puncte
Aria triunghiului se exprimă ca A=12absin⁡C=12⋅3k⋅5k⋅32=15k234\mathcal{A} = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} \cdot 3k \cdot 5k \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15k^2 \sqrt{3}}{4}.
42 puncte
Din enunț, A=153\mathcal{A} = 15\sqrt{3}, deci 15k234=153⇒15k23=603⇒k2=4⇒k=2\frac{15k^2 \sqrt{3}}{4} = 15\sqrt{3} \Rightarrow 15k^2 \sqrt{3} = 60\sqrt{3} \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k=2 (deoarece k>0k>0).
51 punct
Lungimile laturilor sunt a=3⋅2=6a=3 \cdot 2 = 6, b=5⋅2=10b=5 \cdot 2 = 10, c=7⋅2=14c=7 \cdot 2 = 14.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.