MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareGeometrie Analitică
Se consideră planele în spațiu: π1:2x−y+z=1\pi_1: 2x - y + z = 1, π2:x+3y−2z=4\pi_2: x + 3y - 2z = 4 și π3:ax+by+cz=d\pi_3: ax + by + cz = d, unde a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}. Determinați a,b,c,da, b, c, d astfel încât cele trei plane să se intersecteze în punctul P(1,2,−1)P(1,2,-1) și sistemul format să aibă soluție unică.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Punctul P(1,2,−1)P(1,2,-1) trebuie să aparțină planului π3\pi_3, deci a⋅1+b⋅2+c⋅(−1)=da \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot (-1) = d, adică a+2b−c=da + 2b - c = d.
23 puncte
Sistemul de ecuații liniare este {2x−y+z=1x+3y−2z=4ax+by+cz=d\begin{cases} 2x - y + z = 1 \\ x + 3y - 2z = 4 \\ ax + by + cz = d \end{cases}. Pentru a avea soluție unică, matricea coeficienților A=(2−1113−2abc)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ a & b & c \end{pmatrix} trebuie să aibă determinantul nenul.
33 puncte
Calculăm det⁡(A)=2⋅∣3−2bc∣−(−1)⋅∣1−2ac∣+1⋅∣13ab∣=2(3c+2b)+1(c+2a)+1(b−3a)=6c+4b+c+2a+b−3a=7c+5b−a\det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ b & c \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ a & c \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ a & b \end{vmatrix} = 2(3c + 2b) + 1(c + 2a) + 1(b - 3a) = 6c + 4b + c + 2a + b - 3a = 7c + 5b - a. Impunem det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, deci 7c+5b−a≠07c + 5b - a \neq 0.
42 puncte
Din condițiile a+2b−c=da + 2b - c = d și 7c+5b−a≠07c + 5b - a \neq 0, putem alege, de exemplu, a=1,b=0,c=0a=1, b=0, c=0, atunci d=1d=1 și det⁡(A)=−1≠0\det(A) = -1 \neq 0, deci planele se intersectează în punctul PP. Altă alegere posibilă, respectând ambele condiții, este validă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.