MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} și funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={x2+ax−2x−1,x≠1b,x=1f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + ax - 2}{x-1}, & x \neq 1 \\ b, & x = 1 \end{cases}. Determinați a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} astfel încât ff să fie continuă pe R\mathbb{R} și să aibă limita lim⁡x→∞f(x)=3\lim_{x \to \infty} f(x) = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Studierea continuității în x=1x=1. Se calculează lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x) pentru x≠1x \neq 1: lim⁡x→1x2+ax−2x−1\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - 2}{x-1}. Pentru a exista limită finită, numărătorul trebuie să se anuleze în x=1x=1 (altfel limita ar fi infinită). Condiție: 12+a⋅1−2=0⇒a=11^2 + a \cdot 1 - 2 = 0 \Rightarrow a = 1. Atunci f(x)=x2+x−2x−1=(x−1)(x+2)x−1=x+2f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{x-1} = \frac{(x-1)(x+2)}{x-1} = x+2 pentru x≠1x \neq 1. Deci lim⁡x→1f(x)=3\lim_{x \to 1} f(x) = 3. Pentru continuitate, f(1)=b=3f(1) = b = 3.
23 puncte
Verificarea limitei la infinit: lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞(x+2)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} (x+2) = \infty, dar se cere ca limita să fie 33. Contradicție cu condiția dată. Așadar, nu există a,ba, b care să satisfacă simultan ambele condiții.
33 puncte
Concluzie: Pentru a=1a=1 și b=3b=3, funcția este continuă pe R\mathbb{R} (deoarece lim⁡x→1f(x)=3=f(1)\lim_{x \to 1} f(x)=3=f(1) și ff este polinomială în rest), dar lim⁡x→∞f(x)=∞≠3\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \neq 3. Prin urmare, nu există a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} care să îndeplinească ambele cerințe. Se punctează raționamentul corect chiar dacă nu există soluție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.