MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăPolinoame
Fie nn un număr natural nenul. Demonstrați prin inducție matematică că polinomul Pn(x)=xn−nx+n−1P_n(x) = x^n - nx + n - 1 se divide cu (x−1)2(x-1)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică cazul de bază pentru n=1: P1(x)=x−1⋅x+1−1=0P_1(x) = x - 1 \cdot x + 1 - 1 = 0. Polinomul nul este divizibil cu orice polinom nenul, inclusiv cu (x−1)2(x-1)^2.
24 puncte
Se presupune că pentru n=k, polinomul Pk(x)P_k(x) este divizibil cu (x−1)2(x-1)^2, adică există un polinom Qk(x)Q_k(x) astfel încât Pk(x)=(x−1)2Qk(x)P_k(x) = (x-1)^2 Q_k(x).
34 puncte
Pentru n=k+1, considerăm Pk+1(x)=xk+1−(k+1)x+kP_{k+1}(x) = x^{k+1} - (k+1)x + k. Observăm că Pk+1(x)−Pk(x)=xk+1−xk−x+1=xk(x−1)−(x−1)=(x−1)(xk−1)=(x−1)2(1+x+⋯+xk−1)P_{k+1}(x) - P_k(x) = x^{k+1} - x^k - x + 1 = x^k(x-1) - (x-1) = (x-1)(x^k - 1) = (x-1)^2(1 + x + \dots + x^{k-1}). Din ipoteza inductivă, Pk(x)=(x−1)2Qk(x)P_k(x) = (x-1)^2 Q_k(x), deci Pk+1(x)=Pk(x)+(x−1)2(1+x+⋯+xk−1)=(x−1)2Qk(x)+(x−1)2(1+x+⋯+xk−1)=(x−1)2(Qk(x)+1+x+⋯+xk−1)P_{k+1}(x) = P_k(x) + (x-1)^2(1 + x + \dots + x^{k-1}) = (x-1)^2 Q_k(x) + (x-1)^2(1 + x + \dots + x^{k-1}) = (x-1)^2 (Q_k(x) + 1 + x + \dots + x^{k-1}). Astfel, Pk+1(x)P_{k+1}(x) este divizibil cu (x−1)2(x-1)^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.