MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr întreg n≥0n \geq 0, numărul 7n+3n+17^{n} + 3^{n+1} este divizibil cu 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
12 puncte
Verificare pentru n=0n=0: 70+30+1=1+3=47^{0} + 3^{0+1} = 1 + 3 = 4, care este divizibil cu 4.
28 puncte
Presupunem că pentru nn, 7n+3n+17^{n} + 3^{n+1} este divizibil cu 4, adică există un întreg kk astfel încât 7n+3n+1=4k7^{n} + 3^{n+1} = 4k. Demonstrație pentru n+1n+1: 7n+1+3(n+1)+1=7⋅7n+3⋅3n+1=7(7n+3n+1)−7⋅3n+1+3⋅3n+1=7(4k)−4⋅3n+1=4(7k−3n+1)7^{n+1} + 3^{(n+1)+1} = 7 \cdot 7^{n} + 3 \cdot 3^{n+1} = 7(7^{n} + 3^{n+1}) - 7 \cdot 3^{n+1} + 3 \cdot 3^{n+1} = 7(4k) - 4 \cdot 3^{n+1} = 4(7k - 3^{n+1}), deci este divizibil cu 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.