MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Rezolvați sistemul de ecuații neliniare: {x+y+z=6x2+y2+z2=14x3+y3+z3=36\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 14 \\ x^3 + y^3 + z^3 = 36 \end{cases} și determinați valorile reale ale lui xx, yy, zz.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Utilizăm identitatea algebrică (x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx). Înlocuind valorile cunoscute, obținem 62=14+2(xy+yz+zx)6^2 = 14 + 2(xy+yz+zx), deci 36=14+2S36 = 14 + 2S, unde S=xy+yz+zxS = xy+yz+zx. Rezultă S=11S = 11.
24 puncte
Folosim identitatea x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx). Înlocuind, avem 36−3xyz=6(14−11)=6⋅3=1836 - 3xyz = 6(14 - 11) = 6 \cdot 3 = 18. Deci 36−3xyz=1836 - 3xyz = 18, iar 3xyz=183xyz = 18, de unde xyz=6xyz = 6.
33 puncte
xx, yy, zz sunt rădăcinile ecuației t3−(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t−xyz=0t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0. Înlocuind, obținem t3−6t2+11t−6=0t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = 0. Factorizăm: t3−6t2+11t−6=(t−1)(t−2)(t−3)=0t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = (t-1)(t-2)(t-3) = 0. Soluțiile sunt x,y,z∈{1,2,3}x, y, z \in \{1, 2, 3\}, în orice ordine.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.