MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(m121m323m)A = \begin{pmatrix} m & 1 & 2 \\ 1 & m & 3 \\ 2 & 3 & m \end{pmatrix}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui mm pentru care determinantul matricei AA este egal cu zero. Apoi, pentru m=2m=2, rezolvați sistemul liniar Ax=bA \mathbf{x} = \mathbf{b}, unde b=(101)\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați determinantul matricei AA: det⁡(A)=m⋅(m2−9)−1⋅(m−6)+2⋅(3−2m)=m3−14m+12\det(A) = m \cdot (m^2 - 9) - 1 \cdot (m - 6) + 2 \cdot (3 - 2m) = m^3 - 14m + 12.
23 puncte
Rezolvați ecuația m3−14m+12=0m^3 - 14m + 12 = 0. Prin încercări sau folosind metode algebrice (e.g., factorizare sau teorema rădăcinilor raționale), găsiți rădăcinile m=2m=2, m=−4m=-4, m=3m=3.
34 puncte
Pentru m=2m=2, calculați det⁡(A)\det(A): 23−14⋅2+12=−8≠02^3 - 14 \cdot 2 + 12 = -8 \neq 0, deci sistemul are soluție unică. Rezolvați sistemul, de exemplu cu regula lui Cramer: calculați determinanții Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z și obțineți soluția x=(−12112)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.