MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrie
Se consideră vectorii a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} cu ∣a⃗∣=3|\vec{a}| = 3, ∣b⃗∣=4|\vec{b}| = 4 și unghiul dintre ei θ=60∘\theta = 60^\circ. Să se calculeze ∣2a⃗−3b⃗∣|2\vec{a} - 3\vec{b}| și să se determine măsura unghiului dintre vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Calculăm produsul scalar a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡60∘=3⋅4⋅12=6\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 60^\circ = 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 6.\n
23 puncte
Folosim formula pentru pătratul modulului: ∣2a⃗−3b⃗∣2=(2a⃗−3b⃗)⋅(2a⃗−3b⃗)=4∣a⃗∣2−12a⃗⋅b⃗+9∣b⃗∣2=4⋅9−12⋅6+9⋅16=36−72+144=108|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = (2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 - 12 \vec{a} \cdot \vec{b} + 9|\vec{b}|^2 = 4 \cdot 9 - 12 \cdot 6 + 9 \cdot 16 = 36 - 72 + 144 = 108.\n
31 punct
Deci ∣2a⃗−3b⃗∣=108=63|2\vec{a} - 3\vec{b}| = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}.\n
42 puncte
Pentru unghiul dintre a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b} și a⃗−b⃗\vec{a}-\vec{b}, calculăm produsul scalar: (a⃗+b⃗)⋅(a⃗−b⃗)=∣a⃗∣2−∣b⃗∣2=9−16=−7(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 9 - 16 = -7.\n
51 punct
Calculăm modulele: ∣a⃗+b⃗∣2=∣a⃗∣2+2a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2=9+12+16=37|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9 + 12 + 16 = 37, deci ∣a⃗+b⃗∣=37|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{37}; similar, ∣a⃗−b⃗∣2=∣a⃗∣2−2a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2=9−12+16=13|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9 - 12 + 16 = 13, deci ∣a⃗−b⃗∣=13|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{13}.\n
61 punct
Unghiul φ\varphi dintre ei satisface cos⁡φ=(a⃗+b⃗)⋅(a⃗−b⃗)∣a⃗+b⃗∣⋅∣a⃗−b⃗∣=−737⋅13=−7481\cos \varphi = \frac{(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b})}{|\vec{a}+\vec{b}| \cdot |\vec{a}-\vec{b}|} = \frac{-7}{\sqrt{37} \cdot \sqrt{13}} = \frac{-7}{\sqrt{481}}, deci φ=arccos⁡(−7481)\varphi = \arccos\left(-\frac{7}{\sqrt{481}}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.