MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. a) Studiați monotonia funcției ff. b) Stabiliți dacă ff este convexă sau concavă pe domeniul său de definiție. c) Utilizând proprietățile de convexitate, demonstrați că pentru orice x,y>0x, y > 0 are loc inegalitatea x+y2ln⁡(x+y2)≤xln⁡x+yln⁡y2\frac{x+y}{2} \ln\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{x \ln x + y \ln y}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1; f′(x)=0⇔x=1ef'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{e}; f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,1e)x \in (0, \frac{1}{e}) și f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(1e,∞)x \in (\frac{1}{e}, \infty), deci ff este descrescătoare pe (0,1e)(0, \frac{1}{e}) și crescătoare pe (1e,∞)(\frac{1}{e}, \infty).
23 puncte
Se calculează f′′(x)=1x>0f''(x) = \frac{1}{x} > 0 pentru orice x>0x > 0, deci ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
34 puncte
Din convexitatea lui ff, aplicând inegalitatea lui Jensen pentru funcții convexe, avem f(x+y2)≤f(x)+f(y)2f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}, adică x+y2ln⁡(x+y2)≤xln⁡x+yln⁡y2\frac{x+y}{2} \ln\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{x \ln x + y \ln y}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.