MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, numărul an=32n+2−8n−9a_n = 3^{2n+2} - 8n - 9 este divizibil cu 64.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Pentru n=1n=1, a1=34−8⋅1−9=81−8−9=64a_1 = 3^{4} - 8 \cdot 1 - 9 = 81 - 8 - 9 = 64, care este divizibil cu 64, deci afirmația este adevărată.
24 puncte
Se presupune că pentru n=kn=k, ak=32k+2−8k−9a_k = 3^{2k+2} - 8k - 9 este divizibil cu 64, adică există un întreg mm astfel încât ak=64ma_k = 64m.
34 puncte
Pentru n=k+1n=k+1, ak+1=32(k+1)+2−8(k+1)−9=32k+4−8k−8−9=9⋅32k+2−8k−17a_{k+1} = 3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9 = 3^{2k+4} - 8k - 8 - 9 = 9 \cdot 3^{2k+2} - 8k - 17. Folosind presupunerea, 32k+2=ak+8k+9=64m+8k+93^{2k+2} = a_k + 8k + 9 = 64m + 8k + 9, deci ak+1=9(64m+8k+9)−8k−17=576m+72k+81−8k−17=576m+64k+64=64(9m+k+1)a_{k+1} = 9(64m + 8k + 9) - 8k - 17 = 576m + 72k + 81 - 8k - 17 = 576m + 64k + 64 = 64(9m + k + 1), care este divizibil cu 64, încheind demonstrația.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.