MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 10

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareLogaritmiEcuații exponentiale
Să se determine numerele reale xx și yy care verifică sistemul: {log⁡2(x+y)+log⁡2(x−y)=32x+y−2x−y=12\begin{cases} \log_2(x+y) + \log_2(x-y) = 3 \\ 2^{x+y} - 2^{x-y} = 12 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Stabiliți domeniul de definiție: x+y>0x+y > 0 și x−y>0x-y > 0.
22 puncte
Aplicați proprietățile logaritmilor: log⁡2((x+y)(x−y))=3⇒(x+y)(x−y)=8\log_2((x+y)(x-y)) = 3 \Rightarrow (x+y)(x-y) = 8.
32 puncte
Notați u=x+yu = x+y și v=x−yv = x-y. Sistemul devine: uv=8uv = 8 și 2u−2v=122^u - 2^v = 12.
42 puncte
Rezolvați sistemul în uu și vv: din uv=8uv = 8, exprimați v=8uv = \frac{8}{u} și înlocuiți în 2u−28u=122^u - 2^{\frac{8}{u}} = 12. Observați că u=4u=4 și v=2v=2 sunt soluții (verificați prin încercare sau analiză).
52 puncte
Reveniți la xx și yy: x+y=4x+y = 4 și x−y=2x-y = 2, deci x=3x=3 și y=1y=1. Verificați condițiile de domeniu: 3+1=4>03+1=4>0 și 3−1=2>03-1=2>0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.