MediuIdentități algebriceClasa 11

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebricePolinoameȘiruri de numere reale
Fie x1x_1 și x2x_2 rădăcinile ecuației x2−3x+1=0x^2 - 3x + 1 = 0. Calculați x15+x25x_1^5 + x_2^5 folosind identități algebrice, fără a rezolva explicit ecuația.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din relațiile lui Viete, avem x1+x2=3x_1 + x_2 = 3 și x1x2=1x_1 x_2 = 1.
23 puncte
Folosim identitatea x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=9−2=7x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 9 - 2 = 7.
33 puncte
Pentru puteri mai mari, folosim recurența derivată din ecuație: x2=3x−1x^2 = 3x - 1, deci xn+2=3xn+1−xnx^{n+2} = 3x^{n+1} - x^n pentru n≥1n \geq 1. Aplicând pentru sume, definim Sn=x1n+x2nS_n = x_1^n + x_2^n. Atunci Sn+2=3Sn+1−SnS_{n+2} = 3S_{n+1} - S_n. Calculăm secvențial: S1=3S_1 = 3, S2=7S_2 = 7, S3=3S2−S1=21−3=18S_3 = 3S_2 - S_1 = 21 - 3 = 18, S4=3S3−S2=54−7=47S_4 = 3S_3 - S_2 = 54 - 7 = 47, S5=3S4−S3=141−18=123S_5 = 3S_4 - S_3 = 141 - 18 = 123.
42 puncte
Deci x15+x25=S5=123x_1^5 + x_2^5 = S_5 = 123.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.