MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiGeometrie Analitică
Demonstrați că aria triunghiului cu vârfurile A(x1,y1)A(x_1, y_1), B(x2,y2)B(x_2, y_2), C(x3,y3)C(x_3, y_3) este dată de formula S=12∣∣x1y11x2y21x3y31∣∣S = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \right|. Apoi, calculați aria triunghiului ABCABC pentru A(2,3)A(2,3), B(5,7)B(5,7), C(1,4)C(1,4).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Considerăm vectorii AB⃗=(x2−x1,y2−y1)\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) și AC⃗=(x3−x1,y3−y1)\vec{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1). Aria este jumătate din modulul determinantului format de coordonatele acestor vectori: S=12∣det⁡(AB⃗,AC⃗)∣=12∣(x2−x1)(y3−y1)−(x3−x1)(y2−y1)∣S = \frac{1}{2} | \det(\vec{AB}, \vec{AC}) | = \frac{1}{2} | (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1) |. Dezvoltând determinantul ∣x1y11x2y21x3y31∣\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} după a treia coloană, obținem același rezultat, deci formula este demonstrată.
23 puncte
Aplicăm formula pentru punctele date: ∣231571141∣=2(7⋅1−1⋅4)−3(5⋅1−1⋅1)+1(5⋅4−7⋅1)=2(7−4)−3(5−1)+1(20−7)=2⋅3−3⋅4+13=6−12+13=7\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 7 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = 2(7 \cdot 1 - 1 \cdot 4) - 3(5 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 1(5 \cdot 4 - 7 \cdot 1) = 2(7-4) - 3(5-1) + 1(20-7) = 2 \cdot 3 - 3 \cdot 4 + 13 = 6 - 12 + 13 = 7. Deci S=12∣7∣=3.5S = \frac{1}{2} |7| = 3.5.
33 puncte
Verificăm prin calculul direct al ariei folosind coordonatele: vectorii AB⃗=(3,4)\vec{AB} = (3,4) și AC⃗=(−1,1)\vec{AC} = (-1,1). Determinantul det⁡(AB⃗,AC⃗)=3⋅1−4⋅(−1)=3+4=7\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 3 \cdot 1 - 4 \cdot (-1) = 3 + 4 = 7, deci S=12⋅7=3.5S = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3.5, confirmând rezultatul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.