MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorVectoriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorul v⃗(t)=ti⃗+(t2−2)j⃗\vec{v}(t) = t\vec{i} + (t^2 - 2)\vec{j}, unde t∈Rt \in \mathbb{R}. Determinați valoarea lui tt pentru care modulul ∣v⃗(t)∣|\vec{v}(t)| este minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Modulul vectorului este ∣v⃗(t)∣=t2+(t2−2)2|\vec{v}(t)| = \sqrt{t^2 + (t^2-2)^2}.
23 puncte
Pentru a minimiza modulul, considerăm funcția f(t)=t2+(t2−2)2=t4−3t2+4f(t) = t^2 + (t^2-2)^2 = t^4 - 3t^2 + 4.
32 puncte
Calculăm derivata f′(t)=4t3−6t=2t(2t2−3)f'(t) = 4t^3 - 6t = 2t(2t^2 - 3). Punctele critice sunt soluțiile f′(t)=0f'(t)=0: t=0t=0 și t=±32t=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}.
42 puncte
Calculăm derivata a doua f′′(t)=12t2−6f''(t) = 12t^2 - 6. Evaluăm: f′′(0)=−6<0f''(0) = -6 < 0 (maxim), f′′(±32)=12⋅32−6=18−6=12>0f''(\pm\sqrt{\frac{3}{2}}) = 12 \cdot \frac{3}{2} - 6 = 18 - 6 = 12 > 0 (minim).
51 punct
Valoarea lui tt care minimizează modulul este t=32t = \sqrt{\frac{3}{2}} sau t=−32t = -\sqrt{\frac{3}{2}} (ambele dau același modul minim).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.