MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Fie sistemul de ecuații liniare: {ax+y+z=1x+by+z=2x+y+cz=3\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + b y + z = 2 \\ x + y + c z = 3 \end{cases}, unde a,b,ca, b, c sunt numere reale. Determinați valorile lui a,b,ca, b, c pentru care sistemul are soluție unică și aflați soluția în acest caz. Apoi, discutați numărul de soluții în funcție de a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrierea matricei sistemului A=(a111b111c)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{pmatrix} și calculul determinantului Δ=abc−a−b−c+2\Delta = abc - a - b - c + 2.
23 puncte
Condiția pentru soluție unică: Δ≠0\Delta \neq 0, adică abc−a−b−c+2≠0abc - a - b - c + 2 \neq 0. Pentru soluție unică, se aplică regula lui Cramer.
32 puncte
Calculul soluției folosind determinanții: Δx=bc−2c−3b+4\Delta_x = bc - 2c - 3b + 4, Δy=ac−2a−c+2\Delta_y = ac - 2a - c + 2, Δz=ab−a−2b+1\Delta_z = ab - a - 2b + 1, cu x=ΔxΔx = \frac{\Delta_x}{\Delta}, y=ΔyΔy = \frac{\Delta_y}{\Delta}, z=ΔzΔz = \frac{\Delta_z}{\Delta}.
42 puncte
Discuția numărului de soluții: dacă Δ=0\Delta = 0, se studiază rangurile matricei sistemului și a matricei extinse pentru a determina dacă sistemul este incompatibil sau compatibil nedeterminat.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.