MediuTeoria MulțimilorClasa 10

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorNumere Complexe
Considerați mulțimea M={z∈C∣∣z∣=2 și arg⁡(z)∈[0,π2]}M = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = \sqrt{2} \text{ și } \arg(z) \in [0, \frac{\pi}{2}] \}. Demonstrați că pentru orice z1,z2∈Mz_1, z_2 \in M, avem ∣z1+z2∣≤22|z_1 + z_2| \leq 2\sqrt{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrierea numerelor complexe din MM în formă trigonometrică. Fie z1=2(cos⁡α+isin⁡α)z_1 = \sqrt{2}(\cos \alpha + i \sin \alpha) și z2=2(cos⁡β+isin⁡β)z_2 = \sqrt{2}(\cos \beta + i \sin \beta), cu α,β∈[0,π2]\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}].
24 puncte
Calculul modulului sumei. $|z_1 + z_2| = |\sqrt{2}(\cos \alpha + i \sin \alpha) + \sqrt{2}(\cos \beta + i \sin \beta)| = \sqrt{2} \sqrt{(\cos \alpha + \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2} = \sqrt{2} \sqrt{2 + 2\cos(\alpha - \beta)} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2(1 + \cos(\alpha - \beta))} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{4\cos^2(\frac{\alpha - \beta}{2})} = \sqrt{2} \cdot 2|\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})| = 2\sqrt{2} |\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})|.
33 puncte
Demonstrarea inegalității. Deoarece α,β∈[0,π2]\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}], avem α−β2∈[−π4,π4]\frac{\alpha - \beta}{2} \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}], deci ∣cos⁡(α−β2)∣≤1|\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})| \leq 1. Prin urmare, $|z_1 + z_2| = 2\sqrt{2} |\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})| \leq 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$$.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.
Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.