MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Într-un cerc de rază R=10R=10 cm, este înscris patrulaterul convex ABCDABCD, cu AB=12AB=12 cm, BC=16BC=16 cm, CD=20CD=20 cm, și DA=14DA=14 cm. a) Demonstrați că patrulaterul este inscriptibil și calculați unghiurile opuse ∠ABC\angle ABC și ∠ADC\angle ADC. b) Determinați lungimile diagonalelor ACAC și BDBD. c) Calculați aria patrulaterului folosind formule trigonometrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se demonstrează inscriptibilitatea verificând că unghiurile opuse sunt suplementare. Din teorema cosinusurilor în triunghiurile ABCABC și ADCADC: AC2=122+162−2⋅12⋅16⋅cos⁡α=400−384cos⁡αAC^2 = 12^2 + 16^2 - 2\cdot12\cdot16\cdot\cos\alpha = 400 - 384\cos\alpha și AC2=142+202−2⋅14⋅20⋅cos⁡γ=596−560cos⁡γAC^2 = 14^2 + 20^2 - 2\cdot14\cdot20\cdot\cos\gamma = 596 - 560\cos\gamma, unde α=∠ABC\alpha = \angle ABC, γ=∠ADC\gamma = \angle ADC. Dar într-un patrulater inscriptibil, α+γ=180∘\alpha + \gamma = 180^\circ, deci cos⁡γ=−cos⁡α\cos\gamma = -\cos\alpha. Echivalând: 400−384cos⁡α=596+560cos⁡α400 - 384\cos\alpha = 596 + 560\cos\alpha, deci 944cos⁡α=−196944\cos\alpha = -196, cos⁡α=−49236\cos\alpha = -\frac{49}{236}. Atunci α=arccos⁡(−49236)\alpha = \arccos\left(-\frac{49}{236}\right) și γ=180∘−α\gamma = 180^\circ - \alpha.\n
23 puncte
Pentru diagonale, se aplică teorema cosinusurilor în triunghiurile BCDBCD și ABDABD. Fie β=∠BCD\beta = \angle BCD. Din BCDBCD: BD2=162+202−2⋅16⋅20⋅cos⁡β=656−640cos⁡βBD^2 = 16^2 + 20^2 - 2\cdot16\cdot20\cdot\cos\beta = 656 - 640\cos\beta. Din ABDABD: BD2=122+142−2⋅12⋅14⋅cos⁡δBD^2 = 12^2 + 14^2 - 2\cdot12\cdot14\cdot\cos\delta, cu δ=∠BAD=180∘−β\delta = \angle BAD = 180^\circ - \beta, deci cos⁡δ=−cos⁡β\cos\delta = -\cos\beta, iar BD2=340+336cos⁡βBD^2 = 340 + 336\cos\beta. Echivalând: 656−640cos⁡β=340+336cos⁡β656 - 640\cos\beta = 340 + 336\cos\beta, deci 976cos⁡β=316976\cos\beta = 316, cos⁡β=79244\cos\beta = \frac{79}{244}. Atunci BD2=656−640⋅79244=2737661BD^2 = 656 - 640\cdot\frac{79}{244} = \frac{27376}{61}, deci BD=2737661=4171161BD = \sqrt{\frac{27376}{61}} = \frac{4\sqrt{1711}}{\sqrt{61}}. Similar, pentru ACAC, din echivalența de la pasul 1: AC2=400−384⋅(−49236)=2830459AC^2 = 400 - 384\cdot\left(-\frac{49}{236}\right) = \frac{28304}{59}, deci AC=2830459=4176959AC = \sqrt{\frac{28304}{59}} = \frac{4\sqrt{1769}}{\sqrt{59}}.\n
33 puncte
Aria patrulaterului este suma ariilor triunghiurilor ABCABC și ADCADC. AABC=12⋅12⋅16⋅sin⁡αA_{ABC} = \frac{1}{2}\cdot12\cdot16\cdot\sin\alpha, AADC=12⋅14⋅20⋅sin⁡γ=12⋅14⋅20⋅sin⁡αA_{ADC} = \frac{1}{2}\cdot14\cdot20\cdot\sin\gamma = \frac{1}{2}\cdot14\cdot20\cdot\sin\alpha (căci sin⁡γ=sin⁡α\sin\gamma = \sin\alpha). Se calculează sin⁡α=1−(49236)2=53295236\sin\alpha = \sqrt{1-\left(\frac{49}{236}\right)^2} = \frac{\sqrt{53295}}{236}. Atunci aria totală =(96+140)sin⁡α=236⋅53295236=53295= (96 + 140)\sin\alpha = 236\cdot\frac{\sqrt{53295}}{236} = \sqrt{53295} cm2^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.