MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăȘiruri de numere realeIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea ∑k=1n(2k−1)2=n(2n−1)(2n+1)3\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
12 puncte
Verificare pentru n=1n=1: ∑k=11(2⋅1−1)2=12=1\sum_{k=1}^{1} (2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1 și 1(2⋅1−1)(2⋅1+1)3=1⋅1⋅33=1\frac{1(2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{3} = 1, deci egalitatea este adevărată.
28 puncte
Presupunem că egalitatea este adevărată pentru nn, adică ∑k=1n(2k−1)2=n(2n−1)(2n+1)3\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}. Demonstrație pentru n+1n+1: ∑k=1n+1(2k−1)2=∑k=1n(2k−1)2+(2(n+1)−1)2=n(2n−1)(2n+1)3+(2n+1)2=n(2n−1)(2n+1)3+3(2n+1)23=(2n+1)[n(2n−1)+3(2n+1)]3=(2n+1)(2n2−n+6n+3)3=(2n+1)(2n2+5n+3)3\sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 + (2(n+1)-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} + (2n+1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} + \frac{3(2n+1)^2}{3} = \frac{(2n+1)[n(2n-1) + 3(2n+1)]}{3} = \frac{(2n+1)(2n^2 - n + 6n + 3)}{3} = \frac{(2n+1)(2n^2 + 5n + 3)}{3}. Factorizăm: 2n2+5n+3=(2n+3)(n+1)2n^2 + 5n + 3 = (2n+3)(n+1), deci (2n+1)(2n+3)(n+1)3=(n+1)(2(n+1)−1)(2(n+1)+1)3\frac{(2n+1)(2n+3)(n+1)}{3} = \frac{(n+1)(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}{3}, ceea ce demonstrează egalitatea pentru n+1n+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.