MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareTrigonometrie
Determinați toate perechile de numere reale (x,y)(x,y) cu x,y∈[0,2π)x,y \in [0, 2\pi) care verifică sistemul: {sin⁡(x)+sin⁡(y)=2cos⁡(x)+cos⁡(y)=2\begin{cases} \sin(x) + \sin(y) = \sqrt{2} \\ \cos(x) + \cos(y) = \sqrt{2} \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosim identitățile: sin⁡(x)+sin⁡(y)=2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\sin(x) + \sin(y) = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) și cos⁡(x)+cos⁡(y)=2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\cos(x) + \cos(y) = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right). Sistemul devine: {2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)=22cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)=2\begin{cases} 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sqrt{2} \\ 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sqrt{2} \end{cases}.
23 puncte
Presupunem cos⁡(x−y2)≠0\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \neq 0 (cazul cos⁡(x−y2)=0\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = 0 duce la 0=20 = \sqrt{2}, imposibil). Împărțind prima ecuație la a doua, obținem tan⁡(x+y2)=1\tan\left(\frac{x+y}{2}\right) = 1, deci x+y2=π4+kπ\frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi, cu k∈Zk \in \mathbb{Z}. Din x,y∈[0,2π)x,y \in [0,2\pi), avem x+y2∈[0,2π)\frac{x+y}{2} \in [0,2\pi), deci k=0k = 0 sau k=1k = 1. Astfel, x+y2=π4\frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{4} sau x+y2=5π4\frac{x+y}{2} = \frac{5\pi}{4}, adică x+y=π2x+y = \frac{\pi}{2} sau x+y=5π2x+y = \frac{5\pi}{2}.
34 puncte
Pentru x+y=π2x+y = \frac{\pi}{2}, substituim în prima ecuație: 2sin⁡(π4)cos⁡(x−y2)=22 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sqrt{2}, adică 2cos⁡(x−y2)=2\sqrt{2} \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sqrt{2}, deci cos⁡(x−y2)=1\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = 1. Atunci x−y2=2mπ\frac{x-y}{2} = 2m\pi, cu m∈Zm \in \mathbb{Z}, dar din x,y∈[0,2π)x,y \in [0,2\pi), avem x−y2∈[−π,π)\frac{x-y}{2} \in [-\pi,\pi), deci x−y2=0\frac{x-y}{2} = 0, adică x=yx=y. Cum x+y=π2x+y = \frac{\pi}{2}, obținem x=y=π4x=y=\frac{\pi}{4}. Pentru x+y=5π2x+y = \frac{5\pi}{2}, similar: 2sin⁡(5π4)cos⁡(x−y2)=22 \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sqrt{2}, adică −2cos⁡(x−y2)=2-\sqrt{2} \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sqrt{2}, deci cos⁡(x−y2)=−1\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -1. Atunci x−y2=π+2mπ\frac{x-y}{2} = \pi + 2m\pi. Din x,y∈[0,2π)x,y \in [0,2\pi), x−y2∈[−π,π)\frac{x-y}{2} \in [-\pi,\pi), deci singura posibilitate este x−y2=−π\frac{x-y}{2} = -\pi (pentru m=−1m=-1), adică x−y=−2πx-y = -2\pi. Dar atunci y=x+2πy = x+2\pi, ceea ce pentru x∈[0,2π)x \in [0,2\pi) dă y∈[2π,4π)y \in [2\pi,4\pi), în afara intervalului. Deci, nu există soluție pentru x+y=5π2x+y = \frac{5\pi}{2}. Astfel, unica soluție este (x,y)=(π4,π4)(x,y) = \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.