MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceNumere ComplexeTrigonometrie
Pentru un număr complex zz cu proprietatea z+1z=2cos⁡θz + \frac{1}{z} = 2\cos\theta, unde θ∈R\theta \in \mathbb{R}, demonstrați că z2+1z2=2cos⁡(2θ)z^2 + \frac{1}{z^2} = 2\cos(2\theta) și apoi deduceți că zn+1zn=2cos⁡(nθ)z^n + \frac{1}{z^n} = 2\cos(n\theta) pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Ridicăm la pătrat relația dată: (z+1z)2=4cos⁡2θ\left(z + \frac{1}{z}\right)^2 = 4\cos^2\theta.
23 puncte
Dezvoltăm folosind identitatea algebrică (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2: z2+2+1z2=4cos⁡2θz^2 + 2 + \frac{1}{z^2} = 4\cos^2\theta, deci z2+1z2=4cos⁡2θ−2z^2 + \frac{1}{z^2} = 4\cos^2\theta - 2.
32 puncte
Folosim identitatea trigonometrică cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 pentru a simplifica: 4cos⁡2θ−2=2(2cos⁡2θ−1)=2cos⁡(2θ)4\cos^2\theta - 2 = 2(2\cos^2\theta - 1) = 2\cos(2\theta), deci z2+1z2=2cos⁡(2θ)z^2 + \frac{1}{z^2} = 2\cos(2\theta).
42 puncte
Prin inducție matematică sau folosind formula lui de Moivre, se arată că pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}, zn+1zn=2cos⁡(nθ)z^n + \frac{1}{z^n} = 2\cos(n\theta), bazându-ne pe identitățile algebrice recurente.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.