MediuAsimptoteClasa 12

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiIntegrale definite
Fie funcția f:(0,∞)→Rf : (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. Determinați asimptotele funcției ff și calculați aria suprafeței mărginite de graficul funcției, asimptota orizontală și dreptele x=1x=1 și x=ex=e.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Asimptotele funcției. Pentru asimptota verticală: lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ln⁡xx=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty (deoarece ln⁡x→−∞\ln x \to -\infty și x→0+x \to 0^+), deci x=0x=0 este asimptotă verticală. Pentru asimptota orizontală: lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞ln⁡xx=0\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 (folosind regula lui l'Hôpital sau comparații), deci y=0y=0 este asimptotă orizontală. Nu există asimptote oblice deoarece există asimptotă orizontală.
24 puncte
Aria cerută este dată de integrala definită ∫1e∣f(x)−0∣dx\int_{1}^{e} |f(x) - 0| dx, deoarece asimptota orizontală este y=0y=0 și pe intervalul [1,e][1,e], f(x)≥0f(x) \geq 0 (căci ln⁡x≥0\ln x \geq 0 pentru x≥1x \geq 1). Astfel, aria = ∫1eln⁡xxdx\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} dx.
33 puncte
Calculăm integrala. Se notează u=ln⁡xu = \ln x, atunci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, deci ∫ln⁡xxdx=∫udu=u22+C=(ln⁡x)22+C\int \frac{\ln x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C. Evaluând: ∫1eln⁡xxdx=[(ln⁡x)22]1e=(ln⁡e)22−(ln⁡1)22=122−022=12\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} dx = \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_{1}^{e} = \frac{(\ln e)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}. Aria este 12\frac{1}{2} unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.