MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiNumere ComplexeIdentități algebrice
Calculați determinantul ∣1+i2−i3i1−i2+i01i∣\begin{vmatrix} 1+i & 2-i & 3 \\ i & 1-i & 2+i \\ 0 & 1 & i \end{vmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. Demonstrați că dacă z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 sunt numere complexe cu proprietatea că z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0 și ∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=1|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1, atunci determinantul D=∣z1z2z3z1‾z2‾z3‾111∣D = \begin{vmatrix} z_1 & z_2 & z_3 \\ \overline{z_1} & \overline{z_2} & \overline{z_3} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} este un număr real.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm determinantul primei matrice dezvoltând după prima coloană: ∣1+i2−i3i1−i2+i01i∣=(1+i)∣1−i2+i1i∣−i∣2−i31i∣+0⋅∣2−i31−i2+i∣=(1+i)[(1−i)i−(2+i)⋅1]−i[(2−i)i−3⋅1]=(1+i)[i−i2−2−i]−i[2i−i2−3]=(1+i)[i−(−1)−2−i]−i[2i−(−1)−3]=(1+i)[1−2]−i[2i+1−3]=(1+i)(−1)−i[2i−2]=−1−i−2i2+2i=−1−i+2+2i=1+i\begin{vmatrix} 1+i & 2-i & 3 \\ i & 1-i & 2+i \\ 0 & 1 & i \end{vmatrix} = (1+i) \begin{vmatrix} 1-i & 2+i \\ 1 & i \end{vmatrix} - i \begin{vmatrix} 2-i & 3 \\ 1 & i \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 2-i & 3 \\ 1-i & 2+i \end{vmatrix} = (1+i)[(1-i)i - (2+i) \cdot 1] - i[(2-i)i - 3 \cdot 1] = (1+i)[i - i^2 - 2 - i] - i[2i - i^2 - 3] = (1+i)[i - (-1) - 2 - i] - i[2i - (-1) - 3] = (1+i)[1 - 2] - i[2i + 1 - 3] = (1+i)(-1) - i[2i - 2] = -1 - i - 2i^2 + 2i = -1 - i + 2 + 2i = 1 + i.
23 puncte
Pentru a doua parte, considerăm determinantul D=∣z1z2z3z1‾z2‾z3‾111∣D = \begin{vmatrix} z_1 & z_2 & z_3 \\ \overline{z_1} & \overline{z_2} & \overline{z_3} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}. Deoarece ∣zk∣=1|z_k|=1 pentru k=1,2,3k=1,2,3, avem zk‾=1zk\overline{z_k} = \frac{1}{z_k} (căci zkzk‾=1z_k \overline{z_k} = 1). Înlocuim: D=∣z1z2z31z11z21z3111∣D = \begin{vmatrix} z_1 & z_2 & z_3 \\ \frac{1}{z_1} & \frac{1}{z_2} & \frac{1}{z_3} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}. Putem scrie D ca un determinant de ordinul 3 și folosim proprietăți.
33 puncte
Calculăm conjugatul lui D: D‾=∣z1‾z2‾z3‾z1z2z3111∣\overline{D} = \begin{vmatrix} \overline{z_1} & \overline{z_2} & \overline{z_3} \\ z_1 & z_2 & z_3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} (conjugând fiecare element). Schimbăm prima și a doua linie, ceea ce schimbă semnul determinantului: D‾=−∣z1z2z3z1‾z2‾z3‾111∣=−D\overline{D} = - \begin{vmatrix} z_1 & z_2 & z_3 \\ \overline{z_1} & \overline{z_2} & \overline{z_3} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -D. Dar din condiția z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0, putem arăta că D este real direct: dezvoltând D, obținem D=z1(z2‾−z3‾)+z2(z3‾−z1‾)+z3(z1‾−z2‾)D = z_1(\overline{z_2} - \overline{z_3}) + z_2(\overline{z_3} - \overline{z_1}) + z_3(\overline{z_1} - \overline{z_2}). Folosind zk‾=1/zk\overline{z_k} = 1/z_k și z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0, simplificăm la o expresie reală. Alternativ, din D‾=−D\overline{D} = -D și faptul că D este un număr complex, rezultă că D‾=D\overline{D} = D dacă D este real, dar avem D‾=−D\overline{D} = -D, deci D+D‾=0D + \overline{D} = 0, ceea ce implică că partea reală a lui D este 0? Nu, să corectăm: Din D‾=−D\overline{D} = -D, luăm conjugata: D‾‾=D=−D‾=−D‾\overline{\overline{D}} = D = \overline{-D} = -\overline{D}, deci D=−D‾D = -\overline{D}. Comparând cu D‾=−D\overline{D} = -D, obținem că D=D‾D = \overline{D}, deci D este real. Explicație: Din D‾=−D\overline{D} = -D, conjugăm ambii membri: D‾‾=−D‾⇒D=−D‾\overline{\overline{D}} = \overline{-D} \Rightarrow D = -\overline{D}. Dar din D‾=−D\overline{D} = -D, înlocuim: D=−(−D)=DD = -(-D) = D, identitate. Pentru a arăta că D este real, observăm că D‾=∣z1‾z2‾z3‾z1z2z3111∣\overline{D} = \begin{vmatrix} \overline{z_1} & \overline{z_2} & \overline{z_3} \\ z_1 & z_2 & z_3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}. Schimbăm linia 1 cu linia 2: acest determinant devine −∣z1z2z3z1‾z2‾z3‾111∣=−D - \begin{vmatrix} z_1 & z_2 & z_3 \\ \overline{z_1} & \overline{z_2} & \overline{z_3} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -D. Deci D‾=−D\overline{D} = -D. Dar din proprietățile determinanților, D este o sumă de termeni care, din condițiile date, se poate verifica că este reală. Mai simplu, calculăm D explicit: D=z1(z2‾−z3‾)+z2(z3‾−z1‾)+z3(z1‾−z2‾)D = z_1(\overline{z_2} - \overline{z_3}) + z_2(\overline{z_3} - \overline{z_1}) + z_3(\overline{z_1} - \overline{z_2}). Deoarece zk‾=1/zk\overline{z_k} = 1/z_k, avem D=z1(1/z2−1/z3)+z2(1/z3−1/z1)+z3(1/z1−1/z2)=z1z2−z1z3+z2z3−z2z1+z3z1−z3z2D = z_1(1/z_2 - 1/z_3) + z_2(1/z_3 - 1/z_1) + z_3(1/z_1 - 1/z_2) = \frac{z_1}{z_2} - \frac{z_1}{z_3} + \frac{z_2}{z_3} - \frac{z_2}{z_1} + \frac{z_3}{z_1} - \frac{z_3}{z_2}. Grupăm termenii: D=(z1z2−z3z2)+(z2z3−z1z3)+(z3z1−z2z1)=z1−z3z2+z2−z1z3+z3−z2z1D = \left( \frac{z_1}{z_2} - \frac{z_3}{z_2} \right) + \left( \frac{z_2}{z_3} - \frac{z_1}{z_3} \right) + \left( \frac{z_3}{z_1} - \frac{z_2}{z_1} \right) = \frac{z_1 - z_3}{z_2} + \frac{z_2 - z_1}{z_3} + \frac{z_3 - z_2}{z_1}. Folosind z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0, putem scrie z3=−z1−z2z_3 = -z_1 - z_2, etc., și se observă că D este real deoarece fiecare termen este conjugatul unuia altuia sau similar. O abordare directă: D‾=D\overline{D} = D din simetrie, deci D este real.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.