MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x)=x^3-3x^2+2. a) Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției ff. b) Studiați convexitatea/concavitatea funcției ff. c) Pentru ce valori reale ale lui kk ecuația f(x)=kf(x)=k are trei rădăcini reale distincte?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Derivata întâi: f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2). Rădăcinile: x=0x=0 și x=2x=2. Tabel de semn: f′(x)>0f'(x)>0 pe (−∞,0)∪(2,∞)(-\infty,0) \cup (2,\infty) (funcția crescătoare), f′(x)<0f'(x)<0 pe (0,2)(0,2) (funcția descrescătoare). Puncte de extrem: maxim local la x=0x=0, f(0)=2f(0)=2; minim local la x=2x=2, f(2)=−2f(2)=-2.
23 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x)=6x-6=6(x-1). f′′(x)=0⇒x=1f''(x)=0 \Rightarrow x=1. f′′(x)<0f''(x)<0 pe (−∞,1)(-\infty,1) (funcție concavă), f′′(x)>0f''(x)>0 pe (1,∞)(1,\infty) (funcție convexă). Punct de inflexiune la x=1x=1, f(1)=0f(1)=0.
34 puncte
Ecuația f(x)=kf(x)=k are trei rădăcini reale distincte dacă dreapta y=ky=k intersectează graficul lui ff în trei puncte. Din studiul monotoniei, ff este continuă și are valori: lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, f(0)=2f(0)=2, f(2)=−2f(2)=-2, lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty. Prin teorema valorii intermediare, pentru k∈(−2,2)k \in (-2, 2), ecuația are trei rădăcini reale distincte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.