MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceNumere ComplexeTrigonometrie
Fie zz un număr complex astfel încât z+1z=2cos⁡θz + \frac{1}{z} = 2\cos\theta. Demonstrați că zn+1zn=2cos⁡(nθ)z^n + \frac{1}{z^n} = 2\cos(n\theta) pentru orice număr natural nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
12 puncte
Pentru n=1n=1, afirmația este adevărată din ipoteză. Pentru n=2n=2, folosind identitatea algebrică z2+1z2=(z+1z)2−2z^2 + \frac{1}{z^2} = (z + \frac{1}{z})^2 - 2, avem z2+1z2=(2cos⁡θ)2−2=4cos⁡2θ−2=2(2cos⁡2θ−1)=2cos⁡(2θ)z^2 + \frac{1}{z^2} = (2\cos\theta)^2 - 2 = 4\cos^2\theta - 2 = 2(2\cos^2\theta - 1) = 2\cos(2\theta), conform formulei trigonometrice.
28 puncte
Presupunem că afirmația este adevărată pentru nn și n−1n-1, adică zn+1zn=2cos⁡(nθ)z^n + \frac{1}{z^n} = 2\cos(n\theta) și zn−1+1zn−1=2cos⁡((n−1)θ)z^{n-1} + \frac{1}{z^{n-1}} = 2\cos((n-1)\theta). Folosind identitatea recursivă zn+1+1zn+1=(zn+1zn)(z+1z)−(zn−1+1zn−1)z^{n+1} + \frac{1}{z^{n+1}} = (z^n + \frac{1}{z^n})(z + \frac{1}{z}) - (z^{n-1} + \frac{1}{z^{n-1}}), înlocuim și obținem zn+1+1zn+1=2cos⁡(nθ)⋅2cos⁡θ−2cos⁡((n−1)θ)=4cos⁡(nθ)cos⁡θ−2cos⁡((n−1)θ)z^{n+1} + \frac{1}{z^{n+1}} = 2\cos(n\theta) \cdot 2\cos\theta - 2\cos((n-1)\theta) = 4\cos(n\theta)\cos\theta - 2\cos((n-1)\theta). Aplicând formula trigonometrică cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)], avem 4cos⁡(nθ)cos⁡θ=2[cos⁡((n+1)θ)+cos⁡((n−1)θ)]4\cos(n\theta)\cos\theta = 2[\cos((n+1)\theta) + \cos((n-1)\theta)], deci zn+1+1zn+1=2cos⁡((n+1)θ)+2cos⁡((n−1)θ)−2cos⁡((n−1)θ)=2cos⁡((n+1)θ)z^{n+1} + \frac{1}{z^{n+1}} = 2\cos((n+1)\theta) + 2\cos((n-1)\theta) - 2\cos((n-1)\theta) = 2\cos((n+1)\theta). Prin inducție matematică, proprietatea este demonstrată pentru orice nn natural.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.