MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăPolinoameIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}, există un polinom Qn(x)Q_n(x) astfel încât x2n−1=(x2−1)Qn(x)x^{2n} - 1 = (x^2 - 1) Q_n(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Pentru n=1n=1, avem x2−1=(x2−1)⋅1x^{2} - 1 = (x^2 - 1) \cdot 1, deci Q1(x)=1Q_1(x)=1 există și egalitatea este adevărată.
24 puncte
Presupunem că afirmația este adevărată pentru n=kn=k, adică există Qk(x)Q_k(x) cu x2k−1=(x2−1)Qk(x)x^{2k} - 1 = (x^2 - 1) Q_k(x).
34 puncte
Pentru n=k+1n=k+1, avem x2(k+1)−1=x2k+2−1=x2(x2k−1)+x2−1x^{2(k+1)} - 1 = x^{2k+2} - 1 = x^2 (x^{2k} - 1) + x^2 - 1. Folosind ipoteza de inducție, x2k−1=(x2−1)Qk(x)x^{2k} - 1 = (x^2 - 1) Q_k(x), deci x2k+2−1=x2(x2−1)Qk(x)+(x2−1)=(x2−1)(x2Qk(x)+1)x^{2k+2} - 1 = x^2 (x^2 - 1) Q_k(x) + (x^2 - 1) = (x^2 - 1)(x^2 Q_k(x) + 1). Definim Qk+1(x)=x2Qk(x)+1Q_{k+1}(x) = x^2 Q_k(x) + 1, și egalitatea este demonstrată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.