MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie AnaliticăStudiul funcțiilor
Fie un semicerc de rază r>0r > 0 cu ecuația x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2, y≥0y \geq 0. Un dreptunghi este înscris în acest semicerc, având baza pe diametrul de pe axa OxOx și vârfurile superioare pe semicerc. Determinați lățimea și înălțimea dreptunghiului astfel încât aria sa să fie maximă.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se alege un sistem de coordonate. Fie xx jumătatea lățimii dreptunghiului, cu x∈(0,r)x \in (0, r). Atunci înălțimea este y=r2−x2y = \sqrt{r^2 - x^2}, iar aria funcției este A(x)=2x⋅r2−x2A(x) = 2x \cdot \sqrt{r^2 - x^2}.
23 puncte
Se calculează derivata: A′(x)=2r2−x2+2x⋅−xr2−x2=2(r2−x2)−2x2r2−x2=2r2−4x2r2−x2A'(x) = 2\sqrt{r^2 - x^2} + 2x \cdot \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} = \frac{2(r^2 - x^2) - 2x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}} = \frac{2r^2 - 4x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}}.
32 puncte
Se găsesc punctele critice: A′(x)=0⇒2r2−4x2=0⇒x2=r22⇒x=r2A'(x) = 0 \Rightarrow 2r^2 - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{r^2}{2} \Rightarrow x = \frac{r}{\sqrt{2}} (pentru x>0x > 0).
42 puncte
Se studiază semnul derivatei: pentru x<r2x < \frac{r}{\sqrt{2}}, A′(x)>0A'(x) > 0; pentru x>r2x > \frac{r}{\sqrt{2}}, A′(x)<0A'(x) < 0, deci x=r2x = \frac{r}{\sqrt{2}} este punct de maxim.
51 punct
Se determină dimensiunile: lățimea 2x=r22x = r\sqrt{2}, înălțimea y=r2−r22=r2y = \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{2}} = \frac{r}{\sqrt{2}}. Aria maximă este atinsă pentru aceste valori.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.