MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−axf(x) = x \ln x - ax, unde aa este un parametru real. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff în funcție de aa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+1−af'(x) = \ln x + 1 - a.
23 puncte
Pentru monotonia, f′(x)=0f'(x) = 0 implică ln⁡x=a−1\ln x = a-1, deci x=ea−1x = e^{a-1}. Dacă x<ea−1x < e^{a-1}, ln⁡x<a−1\ln x < a-1, deci f′(x)<0f'(x) < 0 și ff este strict descrescătoare pe (0,ea−1](0, e^{a-1}]. Dacă x>ea−1x > e^{a-1}, f′(x)>0f'(x) > 0 și ff este strict crescătoare pe [ea−1,∞)[e^{a-1}, \infty). Punctul x=ea−1x = e^{a-1} este punct de minim.
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}.
42 puncte
Pentru x>0x > 0, f′′(x)>0f''(x) > 0, deci funcția ff este convexă (sau convexă în sus) pe (0,∞)(0, \infty), indiferent de valoarea parametrului aa.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.