MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații Liniare
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗−k⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} - \vec{k}, b⃗=−i⃗+2j⃗+4k⃗\vec{b} = -\vec{i} + 2\vec{j} + 4\vec{k}, și c⃗=i⃗−j⃗+2k⃗\vec{c} = \vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k} în spațiul tridimensional. Să se determine vectorul v⃗\vec{v} astfel încât v⃗⋅a⃗=6\vec{v} \cdot \vec{a} = 6, v⃗⋅b⃗=−10\vec{v} \cdot \vec{b} = -10, și v⃗×c⃗=0⃗\vec{v} \times \vec{c} = \vec{0}.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Se notează v⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}.
22 puncte
Din v⃗⋅a⃗=6\vec{v} \cdot \vec{a} = 6 se obține ecuația 2x+3y−z=62x + 3y - z = 6.
32 puncte
Din v⃗⋅b⃗=−10\vec{v} \cdot \vec{b} = -10 se obține ecuația −x+2y+4z=−10-x + 2y + 4z = -10.
42 puncte
Din v⃗×c⃗=0⃗\vec{v} \times \vec{c} = \vec{0} rezultă că v⃗\vec{v} și c⃗\vec{c} sunt coliniari, deci există t∈Rt \in \mathbb{R} astfel încât v⃗=tc⃗\vec{v} = t \vec{c}, adică x=tx = t, y=−ty = -t, z=2tz = 2t.
52 puncte
Se substituie x,y,zx, y, z în ecuațiile de la pașii 2 și 3. Din ecuația de la step 2: 2t+3(−t)−2t=2t−3t−2t=−3t=6⇒t=−22t + 3(-t) - 2t = 2t -3t -2t = -3t = 6 \Rightarrow t = -2. Din ecuația de la step 3: −t+2(−t)+4(2t)=−t−2t+8t=5t=−10⇒t=−2-t + 2(-t) + 4(2t) = -t -2t +8t = 5t = -10 \Rightarrow t = -2. Ambele dau t=−2t = -2, deci sistemul este compatibil.
61 punct
Se determină vectorul v⃗\vec{v}: v⃗=−2i⃗+2j⃗−4k⃗\vec{v} = -2\vec{i} + 2\vec{j} -4\vec{k}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.