MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2+1)−xf(x) = \ln(x^2 + 1) - x. Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției. Apoi, studiați convexitatea/concavitatea și găsiți punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=2xx2+1−1f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} - 1.
23 puncte
Analizați semnul derivatei: f′(x)=2x−(x2+1)x2+1=−x2+2x−1x2+1=−(x−1)2x2+1≤0f'(x) = \frac{2x - (x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x^2 + 1} = \frac{-(x-1)^2}{x^2 + 1} \leq 0, cu f′(x)=0f'(x)=0 doar pentru x=1x=1. Funcția este descrescătoare pe R\mathbb{R}, iar x=1x=1 este punct critic dar nu este extrem.
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=ddx(2xx2+1−1)=2(x2+1)−4x2(x2+1)2=−2x2+2(x2+1)2=2(1−x2)(x2+1)2f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{x^2+1} - 1\right) = \frac{2(x^2+1) - 4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.
42 puncte
Studiați semnul derivatei a doua: f′′(x)=0⇒1−x2=0⇒x=±1f''(x) = 0 \Rightarrow 1-x^2=0 \Rightarrow x=\pm1. Pentru x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty), f′′(x)<0f''(x) < 0 (concavă); pentru x∈(−1,1)x \in (-1,1), f′′(x)>0f''(x) > 0 (convexă). Punctele de inflexiune sunt x=−1x=-1 și x=1x=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.