MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În triunghiul ABC, se cunosc a=BC=10a = BC = 10, b=AC=63b = AC = 6\sqrt{3} și unghiul A=30∘A = 30^\circ. Determinați lungimea laturii c=ABc = AB și măsura unghiului BB.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicăm teorema sinusurilor: asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}. Calculăm sin⁡B=bsin⁡Aa=63⋅1210=3310\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{10} = \frac{3\sqrt{3}}{10}.
22 puncte
Din sin⁡B=3310\sin B = \frac{3\sqrt{3}}{10}, obținem cos⁡B=1−sin⁡2B=1−27100=7310\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \frac{27}{100}} = \frac{\sqrt{73}}{10} (triunghiul este ascuțitunghic).
32 puncte
Calculăm unghiul C=180∘−A−BC = 180^\circ - A - B. Folosim sin⁡C=sin⁡(180∘−A−B)=sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B=12⋅7310+32⋅3310=73+920\sin C = \sin(180^\circ - A - B) = \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{73}}{10} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{73} + 9}{20}.
43 puncte
Aplicăm din nou teorema sinusurilor: csin⁡C=asin⁡A\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}, deci c=asin⁡Csin⁡A=10⋅73+92012=73+9c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{73} + 9}{20}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{73} + 9. Unghiul B=arcsin⁡(3310)B = \arcsin\left(\frac{3\sqrt{3}}{10}\right) sau se poate lăsa în formă exactă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.