MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie AnaliticăFuncția de gradul al II-lea
Se consideră parabola y=x2y = x^2 și un punct P(a,a2)P(a, a^2) pe aceasta. Determinați coordonatele punctului PP astfel încât distanța de la PP la punctul A(0,1)A(0,1) să fie minimă. Folosiți derivate pentru a rezolva problema.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Distanța este d=a2+(a2−1)2d = \sqrt{a^2 + (a^2 - 1)^2}. Considerăm pătratul distanței: f(a)=a2+(a2−1)2=a4−a2+1f(a) = a^2 + (a^2 - 1)^2 = a^4 - a^2 + 1.
22 puncte
Calculăm derivata lui f(a)f(a): f′(a)=4a3−2a=2a(2a2−1)f'(a) = 4a^3 - 2a = 2a(2a^2 - 1).
32 puncte
Setăm f′(a)=0f'(a) = 0: 2a(2a2−1)=02a(2a^2 - 1) = 0, deci a=0a = 0 sau a=±22a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.
42 puncte
Pentru a determina punctele de minim, calculăm derivata a doua: f′′(a)=12a2−2f''(a) = 12a^2 - 2. f′′(0)=−2<0f''(0) = -2 < 0, deci a=0a=0 este punct de maxim local. f′′(±22)=12(12)−2=4>0f''\left(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 12\left(\frac{1}{2}\right) - 2 = 4 > 0, deci a=±22a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} sunt puncte de minim local.
52 puncte
Coordonatele punctelor PP care minimizează distanța sunt P(22,12)P\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right) și P(−22,12)P\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.