MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorGeometrie Analitică
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x=1. Apoi, demonstrați că această tangentă intersectează graficul funcției într-un alt punct diferit de punctul de tangență și calculați coordonatele acestui punct.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Atunci f′(1)=3(1)2−6(1)=−3f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3 și f(1)=13−3(1)2+2=0f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 0. Punctul de tangență este (1,0)(1,0).
23 puncte
Scrierea ecuației tangentei: y−0=−3(x−1)⇒y=−3x+3y - 0 = -3(x - 1) \Rightarrow y = -3x + 3.
34 puncte
Intersecția dintre tangentă și grafic: se rezolvă sistemul {y=x3−3x2+2y=−3x+3\begin{cases} y = x^3 - 3x^2 + 2 \\ y = -3x + 3 \end{cases}. Substituind: x3−3x2+2=−3x+3⇒x3−3x2+3x−1=0x^3 - 3x^2 + 2 = -3x + 3 \Rightarrow x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0. Se observă că x=1x=1 este rădăcină (punct de tangență). Factorizare: (x−1)(x2−2x+1)=(x−1)3=0(x-1)(x^2 - 2x + 1) = (x-1)^3 = 0, deci x=1x=1 este rădăcină triplă. Aceasta indică că tangenta intersectează graficul doar în punctul de tangență, dar enunțul cere un alt punct; se reconsideră: ecuația x3−3x2+3x−1=0x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0 are x=1x=1 ca rădăcină dublă (din derivare) și se rezolvă corect: x3−3x2+3x−1=(x−1)3=0x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3 = 0, deci singura intersecție este în x=1x=1. Pentru a obține un alt punct, se modifică enunțul implicit: tangenta în x=1x=1 este tangentă la grafic, dar se poate verifica că nu mai există alte intersecții. În barem corect: după rezolvare, se constată că x=1x=1 este unică soluție, deci nu există alt punct de intersecție, ceea ce confirmă că tangenta este tangentă într-un punct de inflexiune sau similar. Pentru punctaj, se acordă: rezolvarea corectă a ecuației și observația că x=1x=1 este singura soluție, deci tangenta nu intersectează graficul în alt punct, ceea ce este o particularitate a funcției.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.