MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareTrigonometrie
Rezolvați sistemul de ecuații pentru x,y∈[0,2π)x,y \in [0, 2\pi): {sin⁡x+sin⁡y=1cos⁡x+cos⁡y=3\begin{cases} \sin x + \sin y = 1 \\ \cos x + \cos y = \sqrt{3} \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicați formulele de transformare a sumei în produs: sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡x+y2cos⁡x−y2\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} și cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡x+y2cos⁡x−y2\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}. Sistemul devine: {2sin⁡x+y2cos⁡x−y2=12cos⁡x+y2cos⁡x−y2=3\begin{cases} 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = 1 \\ 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \sqrt{3} \end{cases}.
24 puncte
Împărțiți cele două ecuații (presupunând cos⁡x−y2≠0\cos \frac{x-y}{2} \neq 0) pentru a obține tan⁡x+y2=13\tan \frac{x+y}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}, deci x+y2=π6+kπ\frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{6} + k\pi, cu k∈Zk \in \mathbb{Z}. În intervalul [0,2π)[0, 2\pi) pentru xx și yy, considerați cazurile x+y2=π6\frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{6} și x+y2=7π6\frac{x+y}{2} = \frac{7\pi}{6}. Din prima ecuație, cos⁡x−y2=12sin⁡x+y2\cos \frac{x-y}{2} = \frac{1}{2 \sin \frac{x+y}{2}}; pentru x+y2=π6\frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{6}, sin⁡π6=12\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, deci cos⁡x−y2=1\cos \frac{x-y}{2} = 1; pentru x+y2=7π6\frac{x+y}{2} = \frac{7\pi}{6}, sin⁡7π6=−12\sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}, deci cos⁡x−y2=−1\cos \frac{x-y}{2} = -1.
33 puncte
Rezolvați pentru x−y2\frac{x-y}{2}: în primul caz, cos⁡x−y2=1\cos \frac{x-y}{2} = 1 implică x−y2=2mπ\frac{x-y}{2} = 2m\pi, cu m∈Zm \in \mathbb{Z}, deci x−y=4mπx-y = 4m\pi; împreună cu x+y=π3x+y = \frac{\pi}{3}, obțineți x=π6+2mπx = \frac{\pi}{6} + 2m\pi și y=π6−2mπy = \frac{\pi}{6} - 2m\pi. În [0,2π)[0, 2\pi), pentru m=0m=0, soluția este x=y=π6x = y = \frac{\pi}{6}. În al doilea caz, cos⁡x−y2=−1\cos \frac{x-y}{2} = -1 implică x−y2=π+2mπ\frac{x-y}{2} = \pi + 2m\pi, deci x−y=2π+4mπx-y = 2\pi + 4m\pi; cu x+y=7π3x+y = \frac{7\pi}{3}, verificând în interval, nu există soluții valide. Deci, singura soluție este (π6,π6)(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.