MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateȘiruri de numere realeStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={ex−1−1x−1,daca˘ x≠1a,daca˘ x=1f(x) = \begin{cases} \frac{e^{x-1} - 1}{x-1}, & \text{dacă } x \neq 1 \\ a, & \text{dacă } x = 1 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valoarea lui aa pentru care ff este continuă pe R\mathbb{R}, și apoi calculați lim⁡n→∞f(1+1n)\lim_{n \to \infty} f\left(1 + \frac{1}{n}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm limita lim⁡x→1ex−1−1x−1\lim_{x \to 1} \frac{e^{x-1} - 1}{x-1}. Folosind schimbarea t=x−1t = x-1, avem lim⁡t→0et−1t=1\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1, deci limita este 1.
23 puncte
Pentru ca ff să fie continuă în x=1x=1, trebuie ca f(1)=lim⁡x→1f(x)f(1) = \lim_{x \to 1} f(x), adică a=1a = 1.
33 puncte
Calculăm lim⁡n→∞f(1+1n)\lim_{n \to \infty} f\left(1 + \frac{1}{n}\right). Deoarece ff este continuă pentru a=1a=1, iar 1+1n→11 + \frac{1}{n} \to 1, avem lim⁡n→∞f(1+1n)=f(1)=1\lim_{n \to \infty} f\left(1 + \frac{1}{n}\right) = f(1) = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.