MediuMatematică financiarăClasa 10

Problemă rezolvată de Matematică financiară

MediuMatematică financiarăProgresii GeometriceLogaritmi
Un investitor depune o sumă inițială PP lei într-un cont bancar cu dobândă compusă anuală de rata rr (sub formă zecimală). După nn ani, suma acumulată este Sn=P(1+r)nS_n = P(1+r)^n. a) Dacă suma se dublează în 8 ani, determinați rata rr folosind proprietățile logaritmilor. b) Începând cu anul următor, investitorul depune anual suma AA lei la începutul fiecărui an. Notăm cu TkT_k suma totală acumulată după kk ani de la depunerea inițială. Arătați că TkT_k poate fi scris ca Tk=P(1+r)k+A(1+r)(1+r)k−1rT_k = P(1+r)^k + A(1+r) \frac{(1+r)^k - 1}{r} și deduceți această formulă folosind progresii geometrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Pentru partea a), scriem ecuația 2P=P(1+r)82P = P(1+r)^8, de unde (1+r)8=2(1+r)^8 = 2. Aplicăm logaritmii: 8ln⁡(1+r)=ln⁡28 \ln(1+r) = \ln 2, deci ln⁡(1+r)=ln⁡28\ln(1+r) = \frac{\ln 2}{8}. Atunci 1+r=eln⁡28=21/81+r = e^{\frac{\ln 2}{8}} = 2^{1/8}, deci r=21/8−1r = 2^{1/8} - 1.
26 puncte
Pentru partea b), considerăm depunerile anuale. După primul an: T1=(P+A)(1+r)T_1 = (P + A)(1+r) deoarece depunerea AA se face la începutul anului. După al doilea an: T2=(T1+A)(1+r)=(P+A)(1+r)2+A(1+r)T_2 = (T_1 + A)(1+r) = (P+A)(1+r)^2 + A(1+r). Generalizând, după kk ani: Tk=P(1+r)k+A(1+r)+A(1+r)2+...+A(1+r)kT_k = P(1+r)^k + A(1+r) + A(1+r)^2 + ... + A(1+r)^k. Ultima sumă este o progresie geometrică cu rația (1+r)(1+r) și primul termen A(1+r)A(1+r). Suma acesteia este A(1+r)(1+r)k−1rA(1+r) \frac{(1+r)^k - 1}{r}. Astfel, Tk=P(1+r)k+A(1+r)(1+r)k−1rT_k = P(1+r)^k + A(1+r) \frac{(1+r)^k - 1}{r}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică financiară

Ușor#1Matematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se depune suma de 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. Calculați suma acumulată după 10 ani și determinați după câți ani suma inițială se dublează.
Ușor#2Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
La începutul anului 2020, Maria depune 8000 de lei într-un cont cu dobândă compusă la o rată anuală de 4%. La sfârșitul anului 2022, ea adaugă încă 2000 de lei. Rata dobânzii se schimbă la 5% începând cu anul 2024. Care este valoarea contului la sfârșitul anului 2026?
Mediu#3Matematică financiarăLogaritmi
Un împrumut de 10.000 de lei este acordat cu o rată a dobânzii de 8% pe an, compusă lunar. Împrumutatul plătește lunar o rată constantă de R lei timp de 60 de luni. Să se determine valoarea lui R astfel încât după 60 de luni soldul să fie zero. Apoi, să se calculeze suma totală plătită de către împrumutat.
Ușor#4Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O bancă oferă un împrumut de 10000 lei cu o dobândă compusă anuală de 5%. Împrumutul trebuie rambursat în 3 ani prin plăți anuale egale la sfârșitul fiecărui an. Determinați suma plătită anual.
Vezi toate problemele de Matematică financiară →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică financiară cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.