MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăMatrici
Fie matricea A=(2102)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural nn, An=(2nn⋅2n−102n)A^n = \begin{pmatrix} 2^n & n \cdot 2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1n=1: A1=(2102)A^1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} și (211⋅20021)=(2102)\begin{pmatrix} 2^1 & 1 \cdot 2^{0} \\ 0 & 2^1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, deci egalitatea este adevărată.
23 puncte
Presupunem că pentru n=kn=k, Ak=(2kk⋅2k−102k)A^k = \begin{pmatrix} 2^k & k \cdot 2^{k-1} \\ 0 & 2^k \end{pmatrix}.
35 puncte
Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1: Ak+1=Ak⋅A=(2kk⋅2k−102k)⋅(2102)=(2k⋅2+k⋅2k−1⋅02k⋅1+k⋅2k−1⋅20⋅2+2k⋅00⋅1+2k⋅2)=(2k+12k+k⋅2k02k+1)=(2k+1(k+1)2k02k+1)A^{k+1} = A^k \cdot A = \begin{pmatrix} 2^k & k \cdot 2^{k-1} \\ 0 & 2^k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^k \cdot 2 + k \cdot 2^{k-1} \cdot 0 & 2^k \cdot 1 + k \cdot 2^{k-1} \cdot 2 \\ 0 \cdot 2 + 2^k \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 2^k \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{k+1} & 2^k + k \cdot 2^k \\ 0 & 2^{k+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{k+1} & (k+1)2^k \\ 0 & 2^{k+1} \end{pmatrix}, care este forma dorită pentru n=k+1n=k+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.