MediuMatematică financiarăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică financiară

MediuMatematică financiarăProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un împrumut de P=5000P = 5000 lei este acordat cu o dobândă anuală compusă de i=6%i = 6\%. Împrumutul trebuie rambursat în n=5n = 5 ani prin rate anuale constante RR. Deduceți formula pentru RR folosind faptul că valoarea actuală a ratelor este egală cu suma împrumutată, exprimând suma ca progresie geometrică. Calculați RR cu două zecimale exacte.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Valoarea actuală a unei rate RR plătită după kk ani este R(1+i)k\frac{R}{(1+i)^k}. Suma valorilor actuale pentru toate ratele este P=∑k=1nR(1+i)k=R∑k=1n1(1+i)kP = \sum_{k=1}^{n} \frac{R}{(1+i)^k} = R \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1+i)^k}.
23 puncte
Suma ∑k=1n1(1+i)k\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1+i)^k} este o progresie geometrică cu primul termen 11+i\frac{1}{1+i} și rație 11+i\frac{1}{1+i}. Folosind formula sumei, obținem ∑k=1n1(1+i)k=11+i⋅1−(11+i)n1−11+i=1−(1+i)−ni\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1+i)^k} = \frac{1}{1+i} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{1+i}\right)^n}{1 - \frac{1}{1+i}} = \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}.
33 puncte
Deci, P=R⋅1−(1+i)−niP = R \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}, iar R=P⋅i1−(1+i)−nR = P \cdot \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}}. Aplicând pentru P=5000P=5000, i=0.06i=0.06, n=5n=5, avem R=5000⋅0.061−(1.06)−5≈5000⋅0.061−0.747258≈5000⋅0.060.252742≈5000⋅0.237396≈1186.98R = 5000 \cdot \frac{0.06}{1 - (1.06)^{-5}} \approx 5000 \cdot \frac{0.06}{1 - 0.747258} \approx 5000 \cdot \frac{0.06}{0.252742} \approx 5000 \cdot 0.237396 \approx 1186.98 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică financiară

Ușor#1Matematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se depune suma de 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. Calculați suma acumulată după 10 ani și determinați după câți ani suma inițială se dublează.
Ușor#2Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
La începutul anului 2020, Maria depune 8000 de lei într-un cont cu dobândă compusă la o rată anuală de 4%. La sfârșitul anului 2022, ea adaugă încă 2000 de lei. Rata dobânzii se schimbă la 5% începând cu anul 2024. Care este valoarea contului la sfârșitul anului 2026?
Mediu#3Matematică financiarăLogaritmi
Un împrumut de 10.000 de lei este acordat cu o rată a dobânzii de 8% pe an, compusă lunar. Împrumutatul plătește lunar o rată constantă de R lei timp de 60 de luni. Să se determine valoarea lui R astfel încât după 60 de luni soldul să fie zero. Apoi, să se calculeze suma totală plătită de către împrumutat.
Ușor#4Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O bancă oferă un împrumut de 10000 lei cu o dobândă compusă anuală de 5%. Împrumutul trebuie rambursat în 3 ani prin plăți anuale egale la sfârșitul fiecărui an. Determinați suma plătită anual.
Vezi toate problemele de Matematică financiară →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică financiară cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.