MediuEcuații iraționaleClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații iraționale

MediuEcuații iraționaleIdentități algebriceFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: x2+3x+4−x2+3x+1=1\sqrt{x^2 + 3x + 4} - \sqrt{x^2 + 3x + 1} = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Observăm că trinoamele de sub radicali au discriminanții negativi (Δ1=9−16=−7\Delta_1 = 9-16 = -7, Δ2=9−4=5\Delta_2 = 9-4=5, dar x2+3x+1x^2+3x+1 poate fi negativ pentru unele x, deci stabilim condițiile de existență: x2+3x+4≥0x^2+3x+4 \geq 0 (întotdeauna, deoarece Δ<0\Delta <0 și coeficientul lui x2x^2 pozitiv) și x2+3x+1≥0x^2+3x+1 \geq 0. Rezolvăm x2+3x+1≥0x^2+3x+1 \geq 0: rădăcinile x1,2=−3±52x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}, deci x∈(−∞,−3−52]∪[−3+52,∞)x \in (-\infty, \frac{-3-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-3+\sqrt{5}}{2}, \infty).
21 punct
Notăm y=x2+3xy = x^2 + 3x. Ecuația devine: y+4−y+1=1\sqrt{y+4} - \sqrt{y+1} = 1.
31 punct
Condițiile pentru y: y+4≥0y+4 \geq 0 și y+1≥0y+1 \geq 0, deci y≥−1y \geq -1. Dar din condițiile de la pasul 1, avem x2+3x≥−1x^2+3x \geq -1? Verificăm: x2+3x≥−1x^2+3x \geq -1 este echivalent cu x2+3x+1≥0x^2+3x+1 \geq 0, deja considerat.
43 puncte
Izolăm un radical: y+4=1+y+1\sqrt{y+4} = 1 + \sqrt{y+1}. Ridicăm la pătrat: y+4=1+2y+1+y+1y+4 = 1 + 2\sqrt{y+1} + y+1. Simplificăm: 2=2y+12 = 2\sqrt{y+1}, deci y+1=1\sqrt{y+1} = 1.
52 puncte
Ridicăm la pătrat: y+1=1y+1 = 1, deci y=0y=0. Atunci x2+3x=0x^2 + 3x = 0, cu soluțiile x1=0x_1=0 și x2=−3x_2=-3.
61 punct
Verificăm în ecuația inițială și în domeniu: pentru x=0x=0, 4−1=2−1=1\sqrt{4} - \sqrt{1} = 2-1=1 și 00 aparține domeniului. Pentru x=−3x=-3, 9−9+4−9−9+1=4−1=2−1=1\sqrt{9-9+4} - \sqrt{9-9+1} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2-1=1 și −3-3 aparține domeniului. Ambele sunt soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații iraționale

Greu#1Ecuații iraționale
Fie a>0a > 0 un parametru real. Se consideră ecuația x+a−x−a=1\sqrt{x + a} - \sqrt{x - a} = 1. a) Determinați condițiile de existență pentru xx. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Pentru ce valori ale lui aa ecuația are soluție reală? d) Pentru a=2a = 2, calculați x2x^2.
Greu#2Ecuații iraționale
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru. Se consideră ecuația x2−4x+a=x−2\sqrt{x^2 - 4x + a} = x - 2. a) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are sens. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are exact două soluții reale distincte. d) Pentru a=5a = 5, calculați suma soluțiilor ecuației.
Greu#3Ecuații iraționale
Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația x+3−x−2=4x+1\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = \sqrt{4x+1}. a) Stabiliți condițiile de existență. b) Ridicați la pătrat și simplificați. c) Verificați soluțiile obținute.
Ușor#4Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația (x2−1)2x−1=0.(x^2 - 1)\sqrt{2x - 1} = 0.
Vezi toate problemele de Ecuații iraționale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații iraționale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.