Probleme de Ecuații iraționale — Clasa a 10-a

Exerciții pentru școalăAlgebra • 340 probleme cu rezolvări complete
Teorie Ecuații iraționale — Formule si exemple rezolvate

Ecuațiile iraționale conțin necunoscuta sub radical. Rezolvarea implică ridicarea la putere și verificarea soluțiilor, eliminând soluțiile false introduse.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

40

probleme

Mediu

114

probleme

Greu

6

probleme

Grile de Ecuații iraționale

180 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Greu#1Ecuații iraționale
Fie a>0a > 0 un parametru real. Se consideră ecuația x+a−x−a=1\sqrt{x + a} - \sqrt{x - a} = 1. a) Determinați condițiile de existență pentru xx. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Pentru ce valori ale lui aa ecuația are soluție reală? d) Pentru a=2a = 2, calculați x2x^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
a) Condiții: x+a≥0x + a \geq 0 și x−a≥0x - a \geq 0, deci x≥ax \geq a
22 puncte
b) Se ridică la pătrat: (x+a−x−a)2=1(\sqrt{x+a} - \sqrt{x-a})^2 = 1, adică x+a+x−a−2x2−a2=1x+a + x-a - 2\sqrt{x^2 - a^2} = 1, deci 2x−1=2x2−a22x - 1 = 2\sqrt{x^2 - a^2}
32 puncte
Se ridică din nou la pătrat: (2x−1)2=4(x2−a2)(2x-1)^2 = 4(x^2 - a^2), adică 4x2−4x+1=4x2−4a24x^2 - 4x + 1 = 4x^2 - 4a^2, deci 4x=1+4a24x = 1 + 4a^2, x=a2+14x = a^2 + \frac{1}{4}
42 puncte
c) Condiția x≥ax \geq a devine a2+14≥aa^2 + \frac{1}{4} \geq a, adică a2−a+14≥0a^2 - a + \frac{1}{4} \geq 0, (a−12)2≥0(a-\frac{1}{2})^2 \geq 0, adevărat pentru orice a>0a > 0, deci ecuația are soluție pentru toți a>0a > 0
52 puncte
d) Pentru a=2a=2, x=4+14=174x = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}, deci x2=28916x^2 = \frac{289}{16}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#2Ecuații iraționale
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru. Se consideră ecuația x2−4x+a=x−2\sqrt{x^2 - 4x + a} = x - 2. a) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are sens. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are exact două soluții reale distincte. d) Pentru a=5a = 5, calculați suma soluțiilor ecuației.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Condiții de existență: x2−4x+a≥0x^2 - 4x + a \geq 0 și x−2≥0x - 2 \geq 0, deci x≥2x \geq 2. Discriminantul trinomului: Δ=16−4a\Delta = 16 - 4a.
23 puncte
Ridicarea la pătrat: x2−4x+a=(x−2)2=x2−4x+4x^2 - 4x + a = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4, deci a=4a = 4. Verificare: pentru a=4a = 4, x≥2x \geq 2 și x2−4x+4=(x−2)2≥0x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0, deci x≥2x \geq 2 este soluție.
33 puncte
Pentru a≠4a \neq 4, ecuația nu are soluții. Pentru a=4a = 4, orice x≥2x \geq 2 este soluție, deci infinit de soluții. Pentru exact două soluții distincte, nu există aa (fie niciuna, fie una, fie infinit).
42 puncte
Pentru a=5a = 5, ecuația devine x2−4x+5=x−2\sqrt{x^2 - 4x + 5} = x - 2. Ridicând la pătrat: x2−4x+5=x2−4x+4⇒5=4x^2 - 4x + 5 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow 5 = 4, fals, deci nu are soluții. Suma este 00.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Greu#3Ecuații iraționale
Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația x+3−x−2=4x+1\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = \sqrt{4x+1}. a) Stabiliți condițiile de existență. b) Ridicați la pătrat și simplificați. c) Verificați soluțiile obținute.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Condiții: x+3≥0⇒x≥−3x+3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3, x−2≥0⇒x≥2x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2, 4x+1≥0⇒x≥−144x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{4}. Intersecția: x≥2x \geq 2.
23 puncte
Ridicăm la pătrat: (x+3−x−2)2=4x+1⇒(x+3)+(x−2)−2(x+3)(x−2)=4x+1⇒2x+1−2x2+x−6=4x+1(\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2})^2 = 4x+1 \Rightarrow (x+3) + (x-2) - 2\sqrt{(x+3)(x-2)} = 4x+1 \Rightarrow 2x+1 - 2\sqrt{x^2+x-6} = 4x+1.
33 puncte
Simplificăm: −2x2+x−6=2x⇒x2+x−6=−x-2\sqrt{x^2+x-6} = 2x \Rightarrow \sqrt{x^2+x-6} = -x. Cum x≥2x \geq 2, −x≤−2<0-x \leq -2 < 0, dar x2+x−6≥0\sqrt{x^2+x-6} \geq 0, deci ecuația x2+x−6=−x\sqrt{x^2+x-6} = -x are soluție doar dacă −x≥0-x \geq 0, adică x≤0x \leq 0, contradicție cu x≥2x \geq 2.
42 puncte
Prin urmare, nu există soluții reale. Verificare: pentru x≥2x \geq 2, x+3−x−2>0\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} > 0 și 4x+1>0\sqrt{4x+1} > 0, dar ecuația nu are soluție după calcule.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația (x2−1)2x−1=0.(x^2 - 1)\sqrt{2x - 1} = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Stabilim domeniul de definiție: 2x−1≥0⇒x≥122x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}.\n
23 puncte
Deoarece produsul este zero, avem x2−1=0x^2 - 1 = 0 sau 2x−1=0\sqrt{2x - 1} = 0. Obținem valorile candidate x=−1x = -1, x=1x = 1 și x=12x = \frac{1}{2}.\n
34 puncte
Verificăm valorile obținute în domeniu și în ecuație: x=−1x = -1 nu este admis (radicalul nu este definit), iar x=1x = 1 și x=12x = \frac{1}{2} verifică ecuația. Soluția este S={1,12}S = \left\{1, \frac{1}{2}\right\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația (x2−4)x+1=0.(x^2 - 4)\sqrt{x + 1} = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Stabilim domeniul de definiție: x+1≥0⇒x≥−1x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1. Produsul este zero dacă și numai dacă unul dintre factori este zero: x2−4=0x^2 - 4 = 0 sau x+1=0\sqrt{x + 1} = 0.\n
24 puncte
Rezolvăm ecuațiile: x2−4=0⇒x=±2x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2, respectiv x+1=0⇒x+1=0⇒x=−1\sqrt{x + 1} = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1.\n
33 puncte
Verificăm cu domeniul: x=−2x = -2 nu este admis (nu satisface x≥−1x \ge -1), iar x=−1x = -1 și x=2x = 2 verifică ecuația. Soluția este S={−1,2}S = \{-1, 2\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația (9−x2)2−x=0.(9 - x^2)\sqrt{2 - x} = 0.
Ușor#7Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația (16−x2)3−x=0.(16 - x^2)\sqrt{3 - x} = 0.
Ușor#8Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația 2x−3−x+3=0.\sqrt{2x - 3} - \sqrt{x + 3} = 0.
Ușor#9Ecuații iraționaleFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația x3+2x23=3.\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{x^2} = 3.
Ușor#10Ecuații iraționaleFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația x23−x3−6=0.\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} - 6 = 0.

Și alte 150 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații iraționale cu AI

Accesează toate cele 340 probleme de Ecuații iraționale cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 10-a

→Arii și volume
419 probleme
→Combinatorică
469 probleme
→Domeniul de definiție al funcțiilor
531 probleme
→Ecuații exponentiale
495 probleme
→Ecuații logaritmice
506 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.