MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie AnaliticăStudiul funcțiilor
Un dreptunghi are laturile paralele cu axele de coordonate și vârfurile pe parabola y=4−x2y = 4 - x^2. Determinați dimensiunile dreptunghiului de arie maximă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Considerăm un dreptunghi simetric față de axa Oy. Fie x>0x > 0 abscisa unui vârf. Lățimea dreptunghiului este 2x2x, iar înălțimea este y=4−x2y = 4 - x^2. Aria este A(x)=2x(4−x2)=8x−2x3A(x) = 2x(4 - x^2) = 8x - 2x^3, cu x∈(0,2)x \in (0, 2).
24 puncte
Calculăm derivata A′(x)=8−6x2A'(x) = 8 - 6x^2. Punem A′(x)=0A'(x) = 0, deci 8−6x2=08 - 6x^2 = 0, x2=43x^2 = \frac{4}{3}, x=23x = \frac{2}{\sqrt{3}} (deoarece x>0x>0).
32 puncte
Verificăm că este maxim: A′′(x)=−12xA''(x) = -12x, A′′(23)<0A''\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) < 0, deci este punct de maxim. Dimensiunile sunt: lățimea 2x=432x = \frac{4}{\sqrt{3}}, înălțimea 4−x2=4−43=834 - x^2 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.