MediuInducție matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăNumere ComplexeTrigonometrie
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural nn, numărul complex zn=(1+i)n+(1−i)nz_n = (1 + i)^n + (1 - i)^n este real și că zn=2n+22cos⁡(nπ4)z_n = 2^{\frac{n+2}{2}} \cos\left(\frac{n\pi}{4}\right), unde ii este unitatea imaginară.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea cazului de bază pentru n=0n=0: z0=(1+i)0+(1−i)0=1+1=2z_0 = (1+i)^0 + (1-i)^0 = 1 + 1 = 2, iar 20+22cos⁡(0)=21⋅1=22^{\frac{0+2}{2}} \cos(0) = 2^1 \cdot 1 = 2, deci egalitatea este adevărată.\n
23 puncte
Presupunerea inductivă: pentru n=kn=k, zk=2k+22cos⁡(kπ4)z_k = 2^{\frac{k+2}{2}} \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right) este adevărată.\n
35 puncte
Demonstrația pentru n=k+1n=k+1: zk+1=(1+i)k+1+(1−i)k+1=(1+i)k(1+i)+(1−i)k(1−i)z_{k+1} = (1+i)^{k+1} + (1-i)^{k+1} = (1+i)^k (1+i) + (1-i)^k (1-i). Folosind ipoteza inductivă, (1+i)k=2k2(cos⁡(kπ4)+isin⁡(kπ4))(1+i)^k = 2^{\frac{k}{2}} \left( \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{k\pi}{4}\right) \right) și (1−i)k=2k2(cos⁡(kπ4)−isin⁡(kπ4))(1-i)^k = 2^{\frac{k}{2}} \left( \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right) - i \sin\left(\frac{k\pi}{4}\right) \right) (din forma polară). Înlocuind și simplificând, obținem zk+1=2k+32cos⁡((k+1)π4)z_{k+1} = 2^{\frac{k+3}{2}} \cos\left(\frac{(k+1)\pi}{4}\right), ceea ce completează demonstrația.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.