MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Folosind determinanți, determinați valorile parametrului real mm pentru care sistemul {(m+1)x+2y−z=03x+(m−1)y+2z=0x+y+mz=0\begin{cases} (m+1)x + 2y - z = 0 \\ 3x + (m-1)y + 2z = 0 \\ x + y + mz = 0 \end{cases} are soluții nenule.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie matricea coeficienților M=(m+12−13m−1211m)M = \begin{pmatrix} m+1 & 2 & -1 \\ 3 & m-1 & 2 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix} și se calculează determinantul Δ(m)=det⁡(M)\Delta(m) = \det(M).\n
24 puncte
Se calculează Δ(m)\Delta(m) prin expansiune sau regula lui Sarrus: Δ(m)=(m+1)((m−1)m−2⋅1)−2(3m−2⋅1)+(−1)(3⋅1−(m−1)⋅1)=(m+1)(m2−m−2)−2(3m−2)−(3−m+1)=(m+1)(m2−m−2)−6m+4−4+m=(m+1)(m2−m−2)−5m\Delta(m) = (m+1)((m-1)m - 2 \cdot 1) - 2(3m - 2 \cdot 1) + (-1)(3 \cdot 1 - (m-1) \cdot 1) = (m+1)(m^2 - m - 2) - 2(3m - 2) - (3 - m + 1) = (m+1)(m^2 - m - 2) - 6m + 4 - 4 + m = (m+1)(m^2 - m - 2) - 5m. Se dezvoltă: Δ(m)=m3−m2−2m+m2−m−2−5m=m3−8m−2\Delta(m) = m^3 - m^2 - 2m + m^2 - m - 2 - 5m = m^3 - 8m - 2.\n
33 puncte
Sistemul are soluții nenule dacă Δ(m)=0\Delta(m) = 0. Se rezolvă m3−8m−2=0m^3 - 8m - 2 = 0. Prin încercări sau folosind metode algebrice, se găsește că m=−2m = -2 este o rădăcină. Se divide polinomul și se obține (m+2)(m2−2m−1)=0(m+2)(m^2 - 2m - 1) = 0, deci m=−2m = -2 sau m=1±2m = 1 \pm \sqrt{2}. Acestea sunt valorile lui mm pentru care sistemul are soluții nenule.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.