MediuTeoria MulțimilorClasa 11

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorNumere ComplexeStudiul funcțiilor
Se consideră mulțimea M={z∈C∣∣z∣=1 și Re⁡(z)≥12}M = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \text{ și } \operatorname{Re}(z) \geq \frac{1}{2} \}. Determinați imaginea mulțimii MM prin funcția f:C→Cf: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, f(z)=z2f(z) = z^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Exprimarea numerelor complexe din M în formă trigonometrică: z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta, unde θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi) și cos⁡θ≥12\cos \theta \geq \frac{1}{2}, adică θ∈[−π3,π3]\theta \in [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}] modulo 2π2\pi.
24 puncte
Aplicarea funcției: f(z)=cos⁡2θ+isin⁡2θf(z) = \cos 2\theta + i \sin 2\theta. Pentru θ∈[−π3,π3]\theta \in [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}], avem 2θ∈[−2π3,2π3]2\theta \in [-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}], deci cos⁡2θ≥−12\cos 2\theta \geq -\frac{1}{2}.
32 puncte
Descrierea mulțimii imagine: f(M)={w∈C∣∣w∣=1 și Re⁡(w)≥−12}f(M) = \{ w \in \mathbb{C} \mid |w| = 1 \text{ și } \operatorname{Re}(w) \geq -\frac{1}{2} \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.
Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.