MediuLogică matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăInducție matematicăPolinoame
Se consideră polinomul P(x)=x3−3x2+2xP(x) = x^3 - 3x^2 + 2x. a) Determinați rădăcinile reale ale polinomului P(x)P(x). b) Fie propoziția R(n):"P(n) este divizibil cu 6"R(n): "P(n) \text{ este divizibil cu 6}" pentru n∈Nn \in \mathbb{N}. Demonstrați prin inducție matematică că R(n)R(n) este adevărată pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}. c) Discutați valoarea de adevăr a enunțului: ∀n∈N,P(n)≥0\forall n \in \mathbb{N}, P(n) \geq 0. Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru partea a, factorizarea polinomului: P(x)=x(x2−3x+2)=x(x−1)(x−2)P(x) = x(x^2 - 3x + 2) = x(x-1)(x-2), deci rădăcinile reale sunt 0,1,20, 1, 2.
24 puncte
Pentru partea b, demonstrația prin inducție: verificare pentru n=0: P(0)=0P(0)=0 divizibil cu 6; ipoteza de inducție: P(k)P(k) divizibil cu 6 pentru un k∈Nk \in \mathbb{N}; pasul inductiv: P(k+1)−P(k)=3k(k−1)P(k+1) - P(k) = 3k(k-1), care este divizibil cu 6 deoarece k(k−1)k(k-1) este par; astfel, P(k+1)=P(k)+3k(k−1)P(k+1) = P(k) + 3k(k-1) este divizibil cu 6; concluzie prin inducție.
33 puncte
Pentru partea c, enunțul ∀n∈N,P(n)≥0\forall n \in \mathbb{N}, P(n) \geq 0 este adevărat deoarece P(n)=n(n−1)(n−2)P(n) = n(n-1)(n-2); pentru n=0,1,2n=0,1,2, P(n)=0≥0P(n)=0 \geq 0, iar pentru n≥3n \geq 3, toți factorii sunt nenegativi, deci P(n)≥0P(n) \geq 0; justificare cu verificare pe cazuri sau observația directă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.