MediuInducție matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}, suma combinatorică ∑k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=0n=0: (00)=1\binom{0}{0} = 1 și 20=12^0 = 1, deci egalitatea este adevărată.
23 puncte
Presupunem că pentru un n∈Nn \in \mathbb{N} fixat, egalitatea este adevărată, adică ∑k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n.
35 puncte
Demonstrăm pentru n+1n+1: ∑k=0n+1(n+1k)=(n+10)+∑k=1n(n+1k)+(n+1n+1)\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = \binom{n+1}{0} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n+1}{k} + \binom{n+1}{n+1}. Folosind relația (n+1k)=(nk)+(nk−1)\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}, obținem ∑k=0n+1(n+1k)=1+∑k=1n((nk)+(nk−1))+1=∑k=0n(nk)+∑k=0n(nk)=2n+2n=2⋅2n=2n+1\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = 1 + \sum_{k=1}^{n} \left( \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} \right) + 1 = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n + 2^n = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}, unde am folosit ipoteza de inducție. Astfel, egalitatea este demonstrată pentru n+1n+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.