MediuTeoria MulțimilorClasa 10

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorDomeniul de definiție al funcțiilorLogaritmi
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2−4)f(x) = \ln(x^2 - 4). Determinați domeniul de definiție al funcției ff și notați-l cu DD. Fie mulțimea E={x∈D∣f(x)≤0}E = \{ x \in D \mid f(x) \leq 0 \}. a) Arătați că EE este o reuniune de intervale și calculați lungimea totală a acestora. b) Verificați dacă D∖ED \setminus E este o mulțime finită.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Domeniul DD se obține din condiția x2−4>0x^2 - 4 > 0, adică (x−2)(x+2)>0(x-2)(x+2) > 0, deci x∈(−∞,−2)∪(2,∞)x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty). Astfel, D=(−∞,−2)∪(2,∞)D = (-\infty, -2) \cup (2, \infty).
23 puncte
Condiția f(x)≤0f(x) \leq 0 implică ln⁡(x2−4)≤0\ln(x^2 - 4) \leq 0, deci 0<x2−4≤10 < x^2 - 4 \leq 1, deoarece logaritmul este definit pentru argument pozitiv. Rezolvăm: x2−4>0x^2 - 4 > 0 și x2−4≤1x^2 - 4 \leq 1, adică x2≤5x^2 \leq 5. Combinând, avem 4<x2≤54 < x^2 \leq 5, deci x∈(−5,−2)∪(2,5]x \in (-\sqrt{5}, -2) \cup (2, \sqrt{5}]. Din DD, xx nu poate fi în [−2,2][-2,2], deci E=(−5,−2)∪(2,5]E = (-\sqrt{5}, -2) \cup (2, \sqrt{5}].
32 puncte
EE este reuniunea a două intervale: (−5,−2)(-\sqrt{5}, -2) și (2,5](2, \sqrt{5}]. Lungimea totală este 5−2\sqrt{5} - 2 pentru fiecare interval, deci 2(5−2)=25−42(\sqrt{5} - 2) = 2\sqrt{5} - 4.
42 puncte
D∖E=[(−∞,−2)∪(2,∞)]∖[(−5,−2)∪(2,5]]=(−∞,−5]∪(5,∞)D \setminus E = [(-\infty, -2) \cup (2, \infty)] \setminus [(-\sqrt{5}, -2) \cup (2, \sqrt{5}]] = (-\infty, -\sqrt{5}] \cup (\sqrt{5}, \infty). Aceasta este o reuniune de intervale nemărginite, deci nu este o mulțime finită; este infinită.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.
Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.