MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteDomeniul de definiție al funcțiilorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R∖{−1,1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \to \mathbb{R}, f(x)=2x3−x2+3x2−1f(x) = \frac{2x^3 - x^2 + 3}{x^2 - 1}. Determinați asimptotele funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinăm domeniul de definiție: x2−1≠0⇒x≠±1x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1, deci Df=R∖{−1,1}D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}. Asimptote verticale: calculăm limitele lim⁡x→−1f(x)\lim_{x \to -1} f(x) și lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x). Deoarece numitorul se anulează și numărătorul este nenul în aceste puncte (de exemplu, pentru x=1x=1, numărătorul este 2(1)3−(1)2+3=4≠02(1)^3 - (1)^2 + 3 = 4 \neq 0), avem asimptote verticale x=−1x = -1 și x=1x = 1.
24 puncte
Pentru asimptota oblică, efectuăm împărțirea polinomială: 2x3−x2+32x^3 - x^2 + 3 împărțit la x2−1x^2 - 1. Obținem câtul 2x−12x - 1 și restul 2x+22x + 2, deci f(x)=2x−1+2x+2x2−1f(x) = 2x - 1 + \frac{2x+2}{x^2-1}. Atunci asimptota oblică este y=2x−1y = 2x - 1 deoarece lim⁡x→±∞2x+2x2−1=0\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x+2}{x^2-1} = 0.
33 puncte
Studiem poziția graficului față de asimptota oblică: calculăm f(x)−(2x−1)=2x+2x2−1f(x) - (2x - 1) = \frac{2x+2}{x^2-1}. Pentru x→±∞x \to \pm \infty, aceasta tinde la 0, confirmând asimptota. Analizăm semnul expresiei pentru valori mari ale lui xx pentru a determina dacă graficul este deasupra sau dedesubtul asimptotei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.